5. Zadatak

Neka je $ABC$ jednakostraničan trokut. Trokutu je opisana kružnica $k$ . Na manjem luku $\widehat{BC}$ kružnice $k$ je točka $D$ . Dokaži da vrijedi $|AD|=|BD|+|CD|$ .

Rješenje

Prvi način:

Prvi službeni crtež jednakostraničnog trokuta i kružnice

Vrijedi da je $|\angle ACB|=|\angle ADB|=60^\circ$ jer su to obodni kutovi nad tetivom $\overline{AB}$ i $|\angle CDA|=|\angle CBA|=60^\circ$ jer su to obodni kutovi nad tetivom $\overline{AC}$ .

Slijedi da je $|\angle CDB|=120^\circ$ .

Napomena: Veličina $\angle CDB$ može se odrediti i iz činjenice da je četverokut $ABDC$ tetivni pa je zbroj veličina nasuprotnih kutova jednak $180^\circ$ . Iz čega slijedi da je $|\angle CDB|=120^\circ$ .

Neka je $E$ točka dužine $\overline{AD}$ takva da je $|DE|=|DB|$ .

Trokut $\triangle DEB$ je jednakostraničan jer ima dvije sukladne stranice i kut veličine $60^\circ$ između njih.

Trokuti $\triangle ABE$ i $\triangle CBD$ su sukladni prema poučku S–S–K jer je $|BD|=|BE|$ (stranice jednakostraničnog trokuta $\triangle DEB$ ), $|AB|=|BC|$ (stranice jednakostraničnog trokuta $\triangle ABC$ ) i $|\angle CDB|=|\angle AEB|=120^\circ$ ( $\angle AEB$ je vanjski kut jednakostraničnog trokuta $\triangle DEB$ ).

Posljedica te sukladnosti je zaključak da je $|AE|=|CD|$ .

Dakle, $|AD|=|AE|+|ED|=|CD|+|BD|$ .

Drugi način:

Drugi službeni crtež jednakostraničnog trokuta i kružnice

Nacrtajmo dužinu $\overline{AD}$ i na njoj označimo točku $N$ tako da je $|DC|=|DN|$ .

Kako su $\angle ADC$ i $\angle ABC$ obodni kutovi nad istom tetivom $\overline{AC}$ , vrijedi $|\angle ADC|=60^\circ$ , pa je $\triangle NDC$ jednakostraničan.

Analogno, na $\overline{AD}$ označimo točku $M$ tako da je $|DB|=|DM|$ . Kako su $\angle ADB$ i $\angle ACB$ obodni kutovi nad istom tetivom $\overline{AB}$ , vrijedi $|\angle ADB|=60^\circ$ pa je i $\triangle MBD$ jednakostraničan.

Produljimo dužinu $\overline{MB}$ preko točke $M$ do sjecišta s kružnicom $k$ i označimo sjecište s $P$ .

$|\angle BPC|=60^\circ$ jer je to obodni kut nad tetivom $\overline{BC}$ .

$|\angle DMP|=120^\circ$ jer je to vanjski kut jednakostraničnog trokuta $\triangle MBD$ .

Veličine triju unutarnjih kutova četverokuta $MDCP$ su $60^\circ$ , $120^\circ$ i $60^\circ$ pa je $|\angle DCP|=120^\circ$ .

Kako su nasuprotni kutovi tog četverokuta sukladni, zaključujemo da je $MDCP$ paralelogram iz čega slijedi $|DC|=|MP|$ .

Kako je $\angle BPA$ obodni nad tetivom $\overline{AB}$ (kao i $\angle ACB$ ), vrijedi $|\angle BPA|=60^\circ$ .

Nadalje, $|\angle AMP|=60^\circ$ jer je vršni kut kuta $\angle BMD$ pa je i $\triangle AMP$ jednakostraničan.

Slijedi $|MP|=|MA|$ .

Konačno, $|DN|=|DC|=|MP|=|MA|$ , pa je $|AD|=|AM|+|MD|=|CD|+|DB|$ , što je trebalo pokazati.