3. Zadatak
Tri međusobno paralelna pravca sijeku se sa sedam na njih okomitih pravaca u 21 točki. Sjecišta tih pravaca nalaze se u tri reda i sedam stupaca. Neke od tih točaka su obojane crveno, a neke plavo. Dokaži da se uvijek mogu odabrati četiri točke iste boje koje su vrhovi pravokutnika.
Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je više crvenih točaka.
Dakle, među 21 točkom, barem ih je 11 crvenih.
Razlikujemo dva slučaja:
1) Postoji stupac s 3 crvene točke.
Kako preostalih 8 crvenih točaka treba rasporediti u 6 stupaca, postoji barem jedan stupac u kojemu su dvije crvene točke. Te su dvije crvene točke, zajedno s crvenim točkama na odgovarajućim pozicijama iz stupca s 3 crvene točke, vrhovi pravokutnika.
Na primjer:
2) Ne postoji stupac s 3 crvene točke.
To znači da 11 crvenih točaka treba rasporediti u 7 stupaca s maksimalno dvije crvene točke pa zaključujemo da postoje barem 4 stupca s po dvije crvene točke. U svakom od ta 4 stupca dvije crvene točke mogu zauzeti 3 različite pozicije (prvi i drugi redak, prvi i treći redak ili drugi i treći redak), stoga postoji barem jedan raspored s odgovarajućim pozicijama crvenih točaka koje su vrhovi pravokutnika.
Na primjer:
