4. Zadatak

Kako je $|AD|=|CD|$, $|AE|=|DF|$ i $|\angle EAD|=|\angle FDC|=90^\circ$, trokut $AED$ i trokut $CDF$ su međusobno sukladni (SKS poučak) pravokutni trokuti. Stoga je i u trokutu $FGD$ zbroj mjera šiljastih kutova $90^\circ$ pa je $|\angle DGF|=90^\circ$. Time smo pokazali da je $\overline{CF}\perp\overline{DE}$.

Kako je $|\angle EAF|=|\angle FGE|=90^\circ$, četverokutu $AEGF$ može se opisati kružnica $k_1$ sa središtem u polovištu dijagonale $\overline{EF}$ (Talesov poučak). Tada su obodni kutevi nad tetivom $\overline{EG}$ kružnice $k_1$ međusobno sukladni.

Neka je $|\angle EAG|=|\angle EFG|=\alpha$.

Kako je $|\angle CBE|=|\angle EGC|=90^\circ$, četverokutu $EBCG$ se može opisati kružnica $k_2$ sa središtem u polovištu dijagonale $\overline{CE}$ (Talesov poučak). Tada su obodni kutevi nad tetivom $\overline{EG}$ kružnice $k_2$ međusobno sukladni.

Neka je $|\angle GBE|=|\angle GCE|=\beta$.

Promotrimo sada $\triangle FEC$ i $\triangle ABG$.

Trokuti se podudaraju u dva unutarnja kuta pa je i $|\angle CEF|=|\angle AGB|$, što je i trebalo dokazati.