5. Zadatak

Trebamo odrediti broj tablica koje zadovoljavaju uvjete zadatka. Nazovimo te tablice „prave tablice“.

U tablice, za koje je uvjet zadatka zadovoljen, ćemo umjesto brojeva $1,2,\ldots,9$ upisivati ostatke tih brojeva pri dijeljenju s $3$, tj, brojeve $0$, $1$ i $2$. Nazovimo te tablice „tablice ostataka“.

Kako među brojevima $1,2,\ldots,9$ imamo po tri broja s određenim ostatkom pri dijeljenju s $3$ ($3,6,9$ daju ostatak nula; $1,4,7$ daju ostatak jedan; $2,5,8$ daju ostatak dva), u svakoj ćemo „tablici ostataka“ imati točno tri broja $0$, tri broja $1$ i tri broja $2$.

Pri tome na mjestu tri broja $0$ možemo upisati brojeve $3$, $6$ i $9$ na $3\cdot2\cdot1=6$ načina, a na jednako toliko načina na mjestu tri broja $1$ možemo upisati brojeve $1$, $4$ i $7$ te na mjestu tri broja $2$ brojeve $2$, $5$ i $8$. Tako za svaku „tablicu ostataka“ možemo dobiti $6\cdot6\cdot6=216$ „pravih tablica“ s brojevima $1,2,\ldots,9$.

Zbroj brojeva u retku je djeljiv s $3$ ako i samo ako:

• sva tri broja daju isti ostatak pri dijeljenju s $3$ (tri nule u retku, tri jedinice u retku ili tri dvojke u retku)
• sva tri broja daju različit ostatak pri dijeljenju s $3$ (u retku je točno po jedna nula, jedinica i dvojka).

Stoga zbroj brojeva u stupcu nije djeljiv s $3$ ako i samo ako točno dva broja daju isti ostatak pri dijeljenju s $3$ (točno po dvije nule, dvije jedinice ili dvije dvojke).

Ako u nekom retku sva tri broja daju isti ostatak pri dijeljenju s $3$, onda to mora vrijediti i za preostala dva retka. Ali tada se u svakom stupcu nalaze različiti ostatci pri dijeljenju s $3$ pa taj slučaj nije moguć.

Zato su jedini mogući slučajevi upisivanja brojeva u „tablice ostataka“ koji udovoljavaju uvjetima zadatka oni u kojima:

• je u svakom retku točno po jedna nula, jedinica i dvojka
• su u svakom stupcu točno po dvije nule, dvije jedinice ili dvije dvojke.

Do na zamjene redaka i stupaca to su sljedeći slučajevi:

$0$	$1$	$2$
$0$	$1$	$2$
$1$	$2$	$0$

$0$	$1$	$2$
$0$	$1$	$2$
$2$	$0$	$1$

S obzirom da gore prikazani treći redak u oba slučaja može biti prvi ili drugi, za svaki od ova dva slučaja za „tablice ostataka“ imamo još po $3$ nove tablice, a za sve takve tablice, stupce možemo rasporediti na $3\cdot2\cdot1=6$ načina. Zato je ukupni broj različitih „tablica ostataka“ jednak $2\cdot3\cdot6=36$.

Ukupan broj „pravih tablica“, tj. tablica koje zadovoljavaju uvjete zadatka, jednak je

$$216\cdot36=7776.$$