2. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $k_M$ kružnica sa središtem u točki $M$ radijusa $2$ i neka je $k_A$ kružnica sa središtem u točki $A$ radijusa $4$. Točke $D$ i $P$ pripadaju kružnici $k_M$ pa je $|MD|=|MP|$. Točke $D$ i $P$ pripadaju kružnici $k_A$ pa je $|AD|=|AP|$. Stoga je četverokut $APMD$ deltoid pa su mu dijagonale međusobno okomite, tj. $\overline{AM}\perp\overline{DP}$ i dijagonala $\overline{AM}$ raspolavlja dijagonalu $\overline{DP}$. Označimo li sa $S$ sjecište dijagonala $\overline{AM}$ i $\overline{PD}$, slijedi $|DS|=|SP|$.

Neka je $R$ nožište visine iz vrha $P$ u trokutu $APD$. Kako bismo odredili udaljenost točke $P$ od dužine $\overline{AD}$, potrebno je odrediti duljinu dužine $\overline{PR}$.

Promotrimo pravokutan trokut $AMD$. Dužina $\overline{AM}$ je hipotenuza, duljine kateta su $4$ i $2$ pa je

$$|AM|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}.$$

Površina trokuta $AMD$ je $P_{\triangle AMD}=\frac{4\cdot2}{2}=4$. Duljinu visine $\overline{SD}$ na stranicu $\overline{AM}$ trokuta $AMD$ dobivamo iz

$$P_{\triangle AMD}=\frac{|AM|\cdot|SD|}{2}.$$

Uvrštavanjem $P_{\triangle AMD}=4$ i $|AM|=\sqrt{20}$, te sređivanjem dobivamo $|SD|=\frac4{\sqrt5}$.

Slijedi $|PD|=2\cdot|SD|=\frac8{\sqrt5}$.

Promotrimo pravokutan trokut $ASD$. Primjenom Pitagorinog poučka dobivamo

$$|AS|=\sqrt{4^2-\left(\frac4{\sqrt5}\right)^2}=\sqrt{16-\frac{16}{5}}=\sqrt{\frac{64}{5}}=\frac8{\sqrt5}.$$

Površina trokuta $APD$ je

$$P_{\triangle APD}=\frac{|AS|\cdot|PD|}{2}=\frac{\frac8{\sqrt5}\cdot\frac8{\sqrt5}}{2}=\frac{32}{5}.$$

Dužina $\overline{PR}$ je visina trokuta $APD$ na stranicu $\overline{AD}$, pa je

$$\frac{32}{5}=P_{\triangle APD}=\frac{|AD|\cdot|PR|}{2}=\frac{4\cdot|PR|}{2}$$

iz čega slijedi

$$|PR|=\frac{16}{5}.$$

Napomena 1: Znajući da je četverokut $APMD$ deltoid (pa je $\overline{AM}\perp\overline{DP}$ i $|DS|=|SP|$) te da je $|AM|=\sqrt{20}$, možemo promatrati pravokutne trokute $AMD$, $DCP$ i $PDR$. Kako je $\angle MAD\cong\angle CDP\cong\angle DPR$ (kutovi s okomitim kracima), trokuti su slični (KK poučak).

Tada je $\frac{|PD|}{|CD|}=\frac{|DA|}{|MA|}$, tj. $|PD|=\frac{4\cdot4}{\sqrt{20}}=\frac8{\sqrt5}$.

Također, vrijedi $\frac{|RP|}{|DP|}=\frac{|DA|}{|MA|}$, tj. $|PR|=\frac8{\sqrt5}\cdot\frac4{\sqrt{20}}=\frac{16}{5}$.

Drugo rješenje.

Nadopunimo kvadrat $ABCD$ kvadratom $EFBA$. Dužina $\overline{CE}$ je hipotenuza pravokutnog trokuta $CDE$ s katetama duljine $4$ i $8$ pa je

$$|CE|=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}.$$

Točka $P$ pripada kružnici sa središtem u točki $A$ i promjerom $\overline{DE}$ pa je $|\angle DPE|=90^\circ$ (Talesov poučak), tj. dužina $\overline{DP}$ je visina trokuta $CDE$. Slijedi

$$\frac{|CD|\cdot|DE|}{2}=P_{\triangle CDE}=\frac{|CE|\cdot|DP|}{2}.$$

Uvrštavanjem poznatih duljina dobivamo

$$\frac{4\cdot8}{2}=\frac{\sqrt{80}\cdot|DP|}{2},$$

iz čega slijedi

$$|DP|=\frac{32}{\sqrt{80}}=\frac8{\sqrt5}.$$

Dužina $\overline{PE}$ je kateta pravokutnog trokuta $DEP$ s katetom duljine $\frac8{\sqrt5}$ i hipotenuzom duljine $8$ pa je

$$|PE|=\sqrt{8^2-\left(\frac8{\sqrt5}\right)^2}=\sqrt{64-\frac{64}{5}}=\sqrt{\frac{256}{5}}=\frac{16}{\sqrt5}.$$

Dužina $\overline{PR}$ je visina pravokutnog trokuta $DEP$. Slijedi

$$\frac{|DP|\cdot|PE|}{2}=P_{\triangle DEP}=\frac{|DE|\cdot|PR|}{2}.$$

Sada vrijedi

$$\frac{\frac8{\sqrt5}\cdot\frac{16}{\sqrt5}}{2}=\frac{8\cdot|PR|}{2},$$

odnosno

$$|PR|=\frac{16}{5}.$$

Napomena 2: Nakon što odredimo da je $|CE|=\sqrt{80}$ i $|PE|=\frac{16}{\sqrt5}$, možemo promatrati trokute $DEC$ i $REP$. To su pravokutni trokuti sa zajedničkim kutom pri vrhu $E$, pa su slični (KK poučak). Tada je $\frac{|CD|}{|CE|}=\frac{|PR|}{|PE|}$, tj.

$$\frac4{\sqrt{80}}=\frac{|PR|}{\frac{16}{\sqrt5}}$$

i, konačno, $|PR|=\frac{16}{5}$.