3. Zadatak

Pretpostavimo suprotno, tj. da postoje $m,n\in\mathbb N$ takvi da je $3m^2-7n^2=9$. Kako je

$$7n^2=3m^2-9$$ $$7n^2=3(m^2-3)$$

mora biti $n=3l$, $l\in\mathbb N$. Tada, uvrštavanjem u početnu jednadžbu, dobivamo

$$3m^2-7\cdot(3l)^2=9$$ $$m^2-21l^2=3$$ $$m^2=3(1+7l^2)$$

Zaključujemo da mora biti i $m=3k$, $k\in\mathbb N$ pa uvrštavanjem u $m^2-21l^2=3$ dobivamo

$$(3k)^2-21l^2=3$$ $$3k^2-7l^2=1.$$

Promatrat ćemo ostatke pri dijeljenju lijeve i desne strane jednadžbe brojem $3$.

Najprije dokažimo da kvadrat prirodnog broja pri dijeljenju s $3$ daje ostatak $0$ ili $1$.

Neka je $x\in\mathbb N$. Pri dijeljenju broja $x$ s $3$, mogući su ostaci $0$, $1$, $2$.

• Ako je $x=3k$, tada je ostatak pri dijeljenju izraza $(3k)^2$ s $3$ jednak $0$.
• Ako je $x=3k+1$, tada je ostatak pri dijeljenju izraza $(3k+1)^2=9k^2+6k+1$ s $3$ jednak $1$.
• Ako je $x=3k+2$, tada je ostatak pri dijeljenju izraza $(3k+2)^2=9k^2+12k+4$ s $3$ jednak $1$.

Promotrimo sada ponovno jednadžbu $3k^2-7l^2=1$.

Broj $3k^2$ pri dijeljenju s $3$ daje ostatak $0$. Broj $l^2$ pri dijeljenju s $3$ daje ostatak $0$ ili $1$, $2l^2$ pri dijeljenju s $3$ daje ostatak $0$ ili $2$ pa onda i broj $-7l^2=-9l^2+2l^2$ pri dijeljenju s $3$ daje ostatak $0$ ili $2$.

Dakle, izraz $3k^2-7l^2$ s lijeve strane jednadžbe daje ostatak $0$ ili $2$ pri dijeljenju s $3$, a, kako je desna strana jednadžbe $1$, ostatak pri dijeljenju s $3$ jednak je $1$. To je u suprotnosti s početnom pretpostavkom.

Dakle, ne postoje $m,n\in\mathbb N$ takvi da je $3m^2-7n^2=9$, što je i trebalo dokazati.