1. Zadatak

Trojica radnika trebaju s jedne zajedničke hrpe rasporediti plastične sanduke na tri hrpe. Najprije Karlo sa zajedničke hrpe uzima određeni broj sanduka, $\frac34$ stavlja na hrpu $K$ , a ostatak, ravnopravno, stavlja na hrpe $L$ i $M$ . Zatim Luka sa zajedničke hrpe uzima određeni broj sanduka, $\frac14$ stavlja na hrpu $L$ , a ostatak, ravnopravno, stavlja na hrpe $K$ i $M$ . Na kraju Marko sa zajedničke hrpe uzima preostale sanduke, $\frac1{12}$ stavlja na hrpu $M$ , a ostatak, ravnopravno, stavlja na hrpe $K$ i $L$ . Nakon svega je broj sanduka na hrpama $K$ , $L$ i $M$ u omjeru $3:2:1$ . Odredi najmanji mogući broj plastičnih sanduka na zajedničkoj hrpi prije svih premještanja.

Označimo broj sanduka koje Karlo, Luka i Marko uzimaju sa zajedničke hrpe sa $k$ , $l$ i $m$ , pri čemu je $k,l,m\in\mathbb N$ . Potrebno je odrediti najmanji mogući zbroj $k+l+m$ .

Prema uvjetu zadatka broj sanduka na hrpama $K,L,M$ nakon svih premještanja sa zajedničke hrpe je u omjeru $3:2:1$ . Neka je $x$ broj sanduka na hrpi $M$ nakon svih premještanja. Tada je

\left. \begin{aligned} \frac34k+\frac38l+\frac{11}{24}m&=3x\\ \frac18k+\frac14l+\frac{11}{24}m&=2x\qquad(*)\\ \frac18k+\frac38l+\frac1{12}m&=x \end{aligned} \right\}

Izrazimo li $x$ iz prethodne tri jednadžbe

x=\frac13\left(\frac34k+\frac38l+\frac{11}{24}m\right)=\frac12\left(\frac18k+\frac14l+\frac{11}{24}m\right)=\frac18k+\frac38l+\frac1{12}m

dobivamo sustav

\left. \begin{aligned} \frac14k+\frac18l+\frac{11}{72}m&=\frac1{16}k+\frac18l+\frac{11}{48}m\\ \frac14k+\frac18l+\frac{11}{72}m&=\frac18k+\frac38l+\frac1{12}m \end{aligned} \right\}

tj.

\left. \begin{aligned} 27k-11m&=0\\ 18k-36l+10m&=0 \end{aligned} \right\}

Iz prve jednadžbe je $k=\frac{11}{27}m$ , iz druge je $l=\frac{13}{27}m$ pa $m$ mora biti djeljiv s $27$ . Kako iz sustava $(*)$ vidimo da $m$ mora biti djeljiv s $24$ , tada $m$ mora biti djeljiv i sa $V(24,27)=216$ , tj. $m\in\{216,432,\ldots\}$ .

Konačno, vrijednost zbroja $k+l+m=\frac{11}{27}m+\frac{13}{27}m+m=\frac{51}{27}m$ je najmanja moguća za najmanju vrijednost broja $m=216$ i jednaka je $\frac{51}{27}\cdot216=408$ .

Dakle, najmanji mogući broj plastičnih sanduka na zajedničkoj hrpi prije svih premještanja je $408$ .

Napomena 1: Analogno, možemo promatrati $k$ koji mora biti djeljiv s $8$ i $11$ pa mora biti djeljiv i s $V(8,11)=88$ , odnosno $l$ koji mora biti djeljiv s $8$ i $13$ pa mora biti djeljiv i sa $V(8,13)=104$ te izraziti zbroj $k+l+m$ pomoću jedne od tih nepoznanica.

Napomena 2: Izrazimo li $k,l,m$ iz sustava $(*)$ pomoću $x$ , dobivamo

k=\frac{22}{17}x,\qquad l=\frac{26}{17}x,\qquad m=\frac{54}{17}x\qquad(**)

pa $x$ mora biti djeljiv sa $17$ .

Uočimo iz $(*)$ da $k$ i $l$ moraju biti djeljivi s $8$ , a $m$ mora biti djeljiv s $24$ . Tada, zbog $(**)$ , $x$ mora biti djeljiv i sa $4$ , tj. mora biti djeljiv s $V(17,4)=68$ .

Konačno, vrijednost zbroja $k+l+m=\frac{22}{17}x+\frac{26}{17}x+\frac{54}{17}x=\frac{102}{17}x$ je najmanja moguća za najmanju vrijednost broja $x=68$ i jednaka je $\frac{102}{17}\cdot68=408$ .