3. Zadatak

Umnožak znamenaka troznamenkastog broja kojemu je znamenka desetica ili znamenka jedinica jednaka nuli iznosi 0. Takvi brojevi neće utjecati na ukupni zbroj svih umnožaka.

Promatrajući brojeve prve stotice lako se vidi:

• zbroj umnožaka znamenki brojeva 111,112,113, …, 118, 119 je $1+2+3+\dots+8+9=45$
• zbroj umnožaka znamenki brojeva 121,122,123, …, 128, 129 je 2·(1+2+3+…+8+9)=2·45
• analogno, slijede zbrojevi umnožaka znamenki 3·45,4·45,…,8·45 i 9·45.

Ukupan zbroj umnožaka znamenki brojeva prve stotice iznosi:

$$45+2·45+3·45+...+8·45+9·45=45·(1+2+3+...+8+9)=45^2$$

Za brojeve druge stotice taj je zbroj umnožaka dvostruko veći (zbog znamenke stotice 2) i iznosi $2\cdot45^2$.

Analogno, za ostale su troznamenkaste brojeve zbrojevi umnožaka znamenaka jednaki $3\cdot45^2,4\cdot45^2,\dots,8\cdot45^2$ i $9\cdot45^2$.

Konačni zbroj svih umnožaka iznosi

$$45^2+2·45^2+3·45^2+...+8·45^2+9·45^2=45^2(1+2+3+...+8+9)=45^3$$