1. Zadatak

Neka troznamenkasti broj ima oblik $\overline{abc}$.

Zamijene li mjesta znamenke jedinica i desetica dobivamo jednadžbu:

$$\begin{aligned} \overline{acb}&=\overline{abc}+27\\ 100a+10c+b&=100a+10b+c+27\\ 10c+b&=10b+c+27\\ 9c&=9b+27\quad/:3\\ c&=b+3 \end{aligned}$$

Ako znamenke stotica i desetica zamijene mjesta dobivamo jednadžbu:

$$\begin{aligned} \overline{abc}&=\overline{bac}+450\\ 100a+10b+c&=100b+10a+c+450\\ 100a+10b&=100b+10a+450\\ 90a&=90b+450\quad/:90\\ a&=b+5 \end{aligned}$$

Dalje možemo nastaviti na tri načina.

Prvi način:

Računamo razliku početnog broja $\overline{abc}$ i broja $\overline{cba}$.

$$\begin{aligned} \overline{abc}-\overline{cba} &=100a+10b+c-(100c+10b+a)\\ &=100a+10b+c-100c-10b-a\\ &=99a-99c\\ &=99(a-c) \end{aligned}$$

Uvrštavanjem $a=b+5$ i $c=b+3$, dobije se:

$$\begin{aligned} \overline{abc}-\overline{cba} &=99(a-c)\\ &=99(b+5-b-3)\\ &=99\cdot2=198 \end{aligned}$$

Očito je $\overline{abc}>\overline{cba}$, što znači da će se zamjenom mjesta znamenki stotica i jedinica početni troznamenkasti broj smanjiti za $198$.

Drugi način:

Početni broj je

$$\overline{abc}=100a+10b+c=100(b+5)+10b+(b+3)=111b+503.$$

Ako stotica i jedinica zamijene mjesta dobije se broj

$$\overline{cba}=100c+10b+a=100(b+3)+10b+(b+5)=111b+305.$$

Sad je očito da je $\overline{abc}>\overline{cba}$, a kako je

$$\overline{abc}-\overline{cba}=111b+503-111b-305=198,$$

zaključujemo da se u tom slučaju početni broj smanjio za $198$.

Treći način:

Kako su $a$ i $c$ znamenke i $a\ne0$, onda vrijedi:

$$0<a\le9\quad\text{i}\quad0\le c\le9\quad\Rightarrow\quad0<b+5\le9\quad\text{i}\quad0\le b+3\le9.$$

To znači da vrijedi: $-5<b\le4$, $-3\le b\le6$ i $b\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ iz čega zaključujemo da je $b\in\{0,1,2,3,4\}$.

Odredimo sad sve brojeve $\overline{abc}$ i $\overline{cba}$ za koje je:

$$c=b+3,\quad a=b+5\quad\text{i}\quad b\in\{0,1,2,3,4\}.$$

$b$	$c$	$a$	$\overline{abc}$	$\overline{cba}$	$\overline{abc}-\overline{cba}$
$0$	$3$	$5$	$503$	$305$	$198$
$1$	$4$	$6$	$614$	$416$	$198$
$2$	$5$	$7$	$725$	$527$	$198$
$3$	$6$	$8$	$836$	$638$	$198$
$4$	$7$	$9$	$947$	$749$	$198$

U svakom od pet slučajeva vrijedi isto: $\overline{abc}>\overline{cba}$ i $\overline{abc}-\overline{cba}=198$.

Dakle, ako znamenke stotica i jedinica zamijene mjesta, broj se smanji za $198$.