4. Zadatak

Prvo rješenje.

Broj kojem je zbroj znamenaka $2022$ djeljiv je s $3$ (jer je broju $2022$ zbroj znamenaka $6$), ali nije djeljiv s $9$.

Pretpostavimo da postoje prirodni brojevi $m$ i $n$ koji udovoljavaju uvjetima zadatka.

Tada broj $m\cdot(m+3n)$ mora biti djeljiv s $3$. No, kako brojevi $m$ i $m+3n$ daju iste ostatke pri dijeljenju s $3$, jer je njihova razlika djeljiva s $3$, to znači da su oba ta broja djeljiva s $3$.

Dalje zaključujemo da je njihov umnožak djeljiv s $9$ što je kontradikcija s uvjetom da je zbroj znamenaka tog broja jednak $2022$.

Drugo rješenje.

Broj kojem je zbroj znamenaka $2022$ djeljiv je s $3$, ali ne i s $9$.

Pretpostavimo da postoje prirodni brojevi $m$ i $n$ koji udovoljavaju uvjetima zadatka.

Tada je broj $m\cdot(m+3n)=m^2+3mn$ djeljiv s $3$.

Kako je $3mn$ djeljiv s $3$, tada i $m^2$ mora biti djeljiv s $3$.

Onda je i sam broj $m$ djeljiv s $3$.

Broj $m$ je, dakle, oblika $3k$, $k\in\mathbb{N}$.

Tada je $m\cdot(m+3n)=m^2+3mn=(3k)^2+3\cdot3kn=9k^2+9kn$.

Budući da su oba pribrojnika djeljiva s $9$, tada je s $9$ djeljiv i broj $m\cdot(m+3n)$.

Kako taj broj, zbog zbroja znamenaka $2022$, nije djeljiv s $9$, zaključujemo da polazna pretpostavka ne vrijedi, odnosno da traženi brojevi $m$ i $n$ ne postoje.

Treće rješenje.

Pretpostavimo da postoje prirodni brojevi $m$ i $n$ tako da je zbroj znamenaka broja $m(m+3n)$ jednak $2022$. U tom slučaju, broj $m(m+3n)$ je djeljiv s $3$ jer je $2022:3=674$.

Kako je $3$ prost broj, onda barem jedan od faktora umnoška $m(m+3n)$ treba biti djeljiv s $3$ da bi umnožak bio djeljiv s $3$. Razlikujemo dva slučaja:

1. Ako je faktor $m$ djeljiv s $3$, onda je $m=3k$, $k\in\mathbb{N}$.

Sada je $m+3n=3k+3n=3(k+n)$ pa je umnožak $m(m+3n)=3k\cdot3(k+n)=9k(k+n)$ djeljiv s $9$. No zbroj znamenaka tog broja nije djeljiv s $9$ ($2022:9=224$ i $6$ ostatak) pa zaključujemo da takvi $m$ i $n$ ne postoje.

2. Ako je faktor $(m+3n)$ djeljiv s $3$, onda je nužno broj $m$ djeljiv s $3$, tj. $m=3k$.

No onda je umnožak $m(m+3n)=3k(3k+3n)=9k(k+n)$, $k,n\in\mathbb{N}$ djeljiv s $9$, što je, kao i u prethodnom slučaju, nemoguće jer zbroj znamenaka tog broja nije djeljiv s $9$. Dakle, takvi $m$ i $n$ ne postoje.