3. Zadatak

Veličina jednog šiljastog kuta pravokutnog trokuta $\triangle ABC$ iznosi $30^\circ$ . Ako je točka $P$ polovište hipotenuze $\overline{AB}$ , a točka $S$ središte tom trokutu upisane kružnice, kolika je veličina kuta $\angle SPC$ ?

Rješenje

Skica:

Pravokutni trokut ABC s upisanom kružnicom i točkama P i S

Iz uvjeta zadatka vrijedi da je $|\angle ACB|=90^\circ$ i $|\angle BAC|=30^\circ$ .

Točka $P$ je polovište hipotenuze, odnosno središte kružnice opisane trokutu $\triangle ABC$ , a to znači da je $|PA|=|PB|=|PC|$ iz čega slijedi da je trokut $\triangle PCA$ jednakokračan, pa je $|\angle ACP|=|\angle PAC|=30^\circ$ .

Kako je kut $\angle BPC$ vanjski kut trokuta $\triangle PCA$ , vrijedi $|\angle BPC|=30^\circ+30^\circ=60^\circ$ , a zbog $|PB|=|PC|$ zaključujemo da je trokut $\triangle CPB$ jednakostraničan.

Pravac $BS$ je simetrala kuta $\angle CBP$ jednakostraničnog trokuta $\triangle CPB$ pa je $BS\perp PC$ , a to znači da je pravac $BS$ i simetrala stranice $\overline{PC}$ trokuta $\triangle CPB$ .

Kako točka $S$ pripada simetrali dužine $\overline{PC}$ , prema poučku o simetrali dužine vrijedi $|SP|=|SC|$ , a to znači da je trokut $\triangle CPS$ jednakokračan pa je $|\angle SPC|=|\angle PCS|$ .