5. Zadatak

Kako je trokut $EFS$ pravokutan, prema obratu Talesovog poučka, točka $S$ se nalazi na kružnici s promjerom $\overline{EF}$. Analogno je točka $S$ na kružnici s promjerom $\overline{HE}$.

Neka je točka $O$ polovište dužine $EF$. Očito, točka $O$ je središte kružnice s promjerom $EF$ te je $|OS|=|OE|=|OF|$.

Primjenom Pitagorinog poučka na trokut $EFS$ slijedi da je $|EF|^2=|ES|^2+|FS|^2=(\sqrt6)^2+(3\sqrt2)^2=6+18=24$, odakle je $|EF|=2\sqrt6$.

Zbog toga je $|OS|=|OE|=\sqrt6$. Kako je $|ES|=\sqrt6$, slijedi da je trokut $OSE$ jednakostraničan, pa je $\angle EOS=60°$.

Površina $P_1$ kružnog isječka sa središnjim kutom $\angle EOS$ je $P_1=\frac16\cdot(\sqrt6)^2\pi=\pi$, a površina $P_2$ jednakostraničnog trokuta $OSE$ je $P_2=\frac{(\sqrt6)^2\cdot\sqrt3}{4}=\frac32\sqrt3$.

Zbog simetričnosti s obzirom na pravac $p$, za traženu površinu $P$ vrijedi $P=2(P_1-P_2)$.

Dakle, vrijedi $P=2\left(\pi-\frac32\sqrt3\right)=2\pi-3\sqrt3$.