1. Zadatak

Uočimo kako u nazivnicima imamo redom kvadrat zbroja i kvadrat razlike. Zbog toga, za $x=1-\sqrt2$ dobivamo:

$$\begin{aligned} \frac1{x^2+2x+1}-\frac1{x^2-2x+1} &=\frac1{(x+1)^2}-\frac1{(x-1)^2} \\ &=\frac1{(2-\sqrt2)^2}-\frac1{(-\sqrt2)^2}=\frac1{6-4\sqrt2}-\frac12. \end{aligned}$$

Nadalje, racionalizacijom nazivnika u prvom razlomku lagano dobivamo traženu vrijednost:

$$\begin{aligned} \frac1{6-4\sqrt2}-\frac12 &=\frac1{6-4\sqrt2}\cdot\frac{6+4\sqrt2}{6+4\sqrt2}-\frac12 \\ &=\frac{6+4\sqrt2}{36-(4\sqrt2)^2}-\frac12=\frac{6+4\sqrt2}{36-32}-\frac12 \\ &=\frac{6+4\sqrt2}{4}-\frac12=\frac{6+4\sqrt2-2}{4}=\frac{4+4\sqrt2}{4}=1+\sqrt2. \end{aligned}$$