4. Zadatak

Neka je $|AD|=b$, $|DC|=a$ i $|AB|=|BC|=x$. Primjenom Pitagorinog poučka na trokute $ABC$ i $ACD$ dobivamo:

$$a^2+b^2=|AC|^2 \quad\text{i}\quad 2x^2=|AC|^2.$$

Izjednačavanjem tih dviju relacija dobivamo da je $a^2+b^2=2x^2$. Nadalje, kako je $a+b=12$, kvadriranjem dobivamo da je $a^2+2ab+b^2=144$, odakle je $a^2+b^2=144-2ab$.

Zbog toga je $144-2ab=2x^2$, odakle je $ab+x^2=72$.

S druge strane, površina četverokuta $ABCD$ jednaka je zbroju površina dvaju pravokutnih trokuta $ABC$ i $ACD$, pa je

$$P(ABCD)=P(ACD)+P(ABC)=\frac{ab}{2}+\frac{x^2}{2}=\frac{ab+x^2}{2}.$$

Konačno, iz dobivenih formula slijedi

$$P(ABCD)=\frac{ab+x^2}{2}=\frac{72}{2}=36\ \text{cm}^2.$$