2. Zadatak

Prvi način:

Skica:

Trokut (ACD) je jednakokračan pa vrijedi (|\angle ADC|=|\angle CAD|=x^\circ).

Kut (\angle BCD) je vanjski kut trokuta (ACD) koji je nasuprot unutarnjim kutovima (\angle CAD) i (\angle ADC) pa vrijedi (z^\circ=x^\circ+x^\circ=2x^\circ).

Trokut (BCD) je jednakokračan pa vrijedi (|\angle DBC|=|\angle CDB|=y^\circ).

Zbroj veličina unutarnjih kutova u svakom trokutu je (180^\circ) pa za trokut (BCD) vrijedi

$$|\angle DBC|+|\angle CDB|+|\angle BCD|=180^\circ.$$ $$y^\circ+y^\circ+z^\circ=180^\circ$$ $$2x^\circ+2y^\circ=180^\circ$$ $$x^\circ+y^\circ=90^\circ$$

Dakle, (|\angle ADB|=|\angle ADC|+|\angle CDB|=x^\circ+y^\circ=90^\circ).

Drugi način:

Skica:

Trokut (ACD) je jednakokračan pa vrijedi (|\angle ADC|=|\angle CAD|=x^\circ).

Kut (\angle BCA) je ispruženi kut pa iz uvjeta zadatka vrijedi da je (|\angle DCA|=180^\circ-z^\circ).

Zbroj veličina unutarnjih kutova u svakom trokutu je (180^\circ) pa za trokut (ACD) vrijedi

$$|\angle DCA|+|\angle ADC|+|\angle CAD|=180^\circ.$$ $$180^\circ-z^\circ+x^\circ+x^\circ=180^\circ$$ $$2x^\circ=z^\circ$$ $$x^\circ=\frac{z^\circ}{2}.$$

Analogno, trokut (BCD) je jednakokračan pa vrijedi (|\angle CDB|=|\angle DBC|=y^\circ).

Zbroj veličina unutarnjih kutova u svakom trokutu je (180^\circ) pa za trokut (BCD) vrijedi

$$|\angle BCD|+|\angle CDB|+|\angle DBC|=180^\circ.$$ $$z^\circ+y^\circ+y^\circ=180^\circ$$ $$2y^\circ=180^\circ-z^\circ$$ $$y^\circ=\frac{180^\circ-z^\circ}{2}.$$

Na kraju,

$$|\angle ADB|=x^\circ+y^\circ=\frac{z^\circ}{2}+\frac{180^\circ-z^\circ}{2}=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ.$$

Treći način:

Skica:

Trokut (ACD) je jednakokračan pa vrijedi (|\angle ADC|=|\angle CAD|=x^\circ).

Trokut (BCD) je jednakokračan pa vrijedi (|\angle DBC|=|\angle CDB|=y^\circ).

Zbroj veličina unutarnjih kutova u svakom trokutu je (180^\circ) pa za trokut (ABD) vrijedi

$$|\angle BAD|+|\angle DBA|+|\angle ADB|=x^\circ-y^\circ+(x^\circ+y^\circ)=2x^\circ+2y^\circ=180^\circ,$$

odnosno

$$x^\circ+y^\circ=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ.$$

Dakle, (|\angle ADB|=x^\circ+y^\circ=90^\circ).