5. Zadatak

Prvi način:

Neka su $x_1,x_2,\ldots,x_{11}$ traženi prirodni brojevi i $D(x_1,x_2,\ldots,x_{11})$ njihov najveći zajednički djelitelj.

Tada vrijedi

$$x_1+x_2+\ldots+x_{11}=2016.$$

Kako je svaki od pribrojnika $x_1,x_2,\ldots,x_{11}$ djeljiv s $D(x_1,x_2,\ldots,x_{11})$, onda je i njihov zbroj odnosno 2016 djeljiv s $D(x_1,x_2,\ldots,x_{11})$.

S obzirom da je

$$2016=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot7,$$

onda je $2\cdot2\cdot3=12$ najmanji mogući umnožak faktora veći od 11.

Dakle, najveća vrijednost koju može imati najveći zajednički djelitelj pribrojnika je

$$2016:12=168.$$

Drugi način:

Neka su $x_1,x_2,\ldots,x_{11}$ traženi prirodni brojevi i $D(x_1,x_2,\ldots,x_{11})$ njihov najveći zajednički djelitelj.

Tada vrijedi

$$x_1+x_2+\ldots+x_{11}=2016.$$

Kako je svaki od pribrojnika $x_1,x_2,\ldots,x_{11}$ djeljiv s $D(x_1,x_2,\ldots,x_{11})$, onda je i njihov zbroj odnosno 2016 djeljiv s $D(x_1,x_2,\ldots,x_{11})$.

Djelitelji broja 2016 su $1,2,3,4,6,7,8,9,12,\ldots$,

a najmanji među njima koji je veći od 11 je broj 12.

Dakle, najveća vrijednost koju može imati najveći zajednički djelitelj pribrojnika je

$$2016:12=168.$$