5. Zadatak

Prvi način:

Neka su (x_1,x_2,\ldots,x_{11}) traženi prirodni brojevi i (D(x_1,x_2,\ldots,x_{11})) njihov najveći zajednički djelitelj.

Tada vrijedi

$$x_1+x_2+\ldots+x_{11}=2016.$$

Kako je svaki od pribrojnika (x_1,x_2,\ldots,x_{11}) djeljiv s (D(x_1,x_2,\ldots,x_{11})), onda je i njihov zbroj odnosno 2016 djeljiv s (D(x_1,x_2,\ldots,x_{11})).

S obzirom da je

$$2016=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot7,$$

onda je (2\cdot2\cdot3=12) najmanji mogući umnožak faktora veći od 11.

Dakle, najveća vrijednost koju može imati najveći zajednički djelitelj pribrojnika je

$$2016:12=168.$$

Drugi način:

Neka su (x_1,x_2,\ldots,x_{11}) traženi prirodni brojevi i (D(x_1,x_2,\ldots,x_{11})) njihov najveći zajednički djelitelj.

Tada vrijedi

$$x_1+x_2+\ldots+x_{11}=2016.$$

Kako je svaki od pribrojnika (x_1,x_2,\ldots,x_{11}) djeljiv s (D(x_1,x_2,\ldots,x_{11})), onda je i njihov zbroj odnosno 2016 djeljiv s (D(x_1,x_2,\ldots,x_{11})).

Djelitelji broja 2016 su (1,2,3,4,6,7,8,9,12,\ldots),

a najmanji među njima koji je veći od 11 je broj 12.

Dakle, najveća vrijednost koju može imati najveći zajednički djelitelj pribrojnika je

$$2016:12=168.$$