3. Zadatak

Prvi način:

S obzirom da zbroj tisuću najmanjih uzastopnih pozitivnih cijelih brojeva iznosi

$$1+2+3+\ldots+1000=\frac{1000\cdot1001}{2}=500500,$$

a naših traženih je 31500, najmanji traženi broj je negativan, a najveći pozitivan.

Zbroj $0+1+2+\ldots+999$ se razlikuje od zbroja $1+2+3+\ldots+1000$ jer nema pribrojnik 1000, a ima pribrojnik 0. Dakle, manji je za 1000.

Zbroj $-1+0+1+\ldots+998$ se razlikuje od zbroja $0+1+2+\ldots+999$ jer nema pribrojnik 999, a ima pribrojnik $-1$. Dakle, manji je za 1000.

Analogno, svaki sljedeći manji je za 1000.

Kako je $500\,500-31\,500=469\,000$ i $469\,000:1000=469$, najveći od traženih brojeva je $1000-469=531$, a najmanji je $1-469=-468$.

Drugi način:

Prvi broj označimo s $x$. Slijede ga $x+1,x+2,\ldots,x+999$.

Vrijedi

$$x+(x+1)+(x+2)+\ldots+(x+999)=31\,500$$

odnosno

$$1000x+(1+2+\ldots+999)=31\,500.$$

Gaussovom dosjetkom izračunamo da je

$$1+2+\ldots+999=499\,500.$$

Vrijedi

$$1000x+499\,500=31\,500$$ $$1000x=-468\,000$$ $$x=-468.$$

Tada je $x+999=531$.

Najmanji od traženih brojeva je broj $-468$, a najveći je 531.

Treći način:

Neka je

$$a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{1000}=31500.$$

Prema Gaussovoj dosjetki je

$$a_1+a_{1000}=a_1+a_1+999=2a_1+999$$ $$a_2+a_{999}=a_1+1+a_1+998=2a_1+999$$ $$a_3+a_{998}=a_1+2+a_1+997=2a_1+999$$

$\ldots$

$$a_{500}+a_{501}=a_1+499+a_1+500=2a_1+999.$$

Zbrojivši sve ove jednakosti dobivamo

$$a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{1000}=500\cdot(2a_1+999).$$

Zato je

$$500\cdot(2a_1+999)=31500\quad/:500$$ $$2a_1+999=63$$ $$2a_1=63-999=-936\quad/:2$$ $$a_1=-468.$$

Slijedi

$$a_{1000}=-468+999=531.$$