4. Zadatak

Pravokutnik $ABCD$ je osnosimetričan lik s obzirom na simetrale svojih stranica pa četverokut $A_1B_1C_1D_1$ određen polovištima njegovih stranica ima okomite dijagonale koje se raspolavljaju, odnosno četverokut $A_1B_1C_1D_1$ je romb.

Pokažimo da je četverokut $A_2B_2C_2D_2$ pravokutnik.

Uočimo trokut $\triangle A_1B_1D_1$. Dužina $\overline{D_2A_2}$ je srednjica tog trokuta pa vrijedi:

$$\overline{D_2A_2}\parallel\overline{D_1B_1}\quad\text{i}\quad|D_2A_2|=\frac{1}{2}|D_1B_1|.$$

Na isti način u trokutu $\triangle A_1B_1C_1$ vrijedi:

$$\overline{A_2B_2}\parallel\overline{A_1C_1}\quad\text{i}\quad|A_2B_2|=\frac{1}{2}|A_1C_1|.$$

Zbog simetrije romba isti zaključci vrijede za preostale dvije stranice četverokuta $A_2B_2C_2D_2$.

Dakle, susjedne stranice četverokuta $A_2B_2C_2D_2$ paralelne su dijagonalama romba (koje su međusobno okomite) pa je taj četverokut pravokutnik.

Nastavljanjem postupka iz uvjeta zadatka svaki od četverokuta $A_1B_1C_1D_1$, $A_3B_3C_3D_3$, $A_5B_5C_5D_5$, $\ldots$ bit će romb, a svaki od četverokuta $A_2B_2C_2D_2$, $A_4B_4C_4D_4$, $A_6B_6C_6D_6$, $\ldots$ bit će pravokutnik.

Prema tome, četverokut $A_7B_7C_7D_7$ je romb.

Neka je $P$ površina pravokutnika $ABCD$, a $P_1$, $P_2$, $P_3$, $\ldots$, redom, površine četverokuta $A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$, $A_3B_3C_3D_3$, $\ldots$.

Dijagonale romba $A_1B_1C_1D_1$ sukladne su stranicama pravokutnika $ABCD$. Površina romba jednaka je polovini umnoška duljina njegovih dijagonala pa je $P_1=\frac{1}{2}P$.

Kako je $|D_2A_2|=\frac{1}{2}|D_1B_1|=\frac{1}{2}|AB|$ i $|A_2B_2|=\frac{1}{2}|A_1C_1|=\frac{1}{2}|BC|$ slijedi da je $P_2=\frac{1}{4}P$.

Analogno zaključujemo da je površina svakog sljedećeg četverokuta dva puta manja od površine prethodnog četverokuta.

Iz uvjeta zadatka vrijedi

$$P_4+P_5+P_6=189.$$

Kako je $P_4=\frac{1}{2}P_3=\frac{1}{16}P$, $P_5=\frac{1}{2}P_4=\frac{1}{32}P$, $P_6=\frac{1}{2}P_5=\frac{1}{64}P$, slijedi:

$$\begin{aligned} \frac{1}{16}P+\frac{1}{32}P+\frac{1}{64}P&=189\\ \frac{7}{64}P&=189\\ P&=189\cdot\frac{64}{7}\\ P&=1728 \end{aligned}$$

Tada je:

$$\begin{aligned} P_7&=\frac{1}{2}P_6=\frac{1}{128}P\\ P_7&=\frac{1}{128}\cdot1728\\ P_7&=13.5 \end{aligned}$$

Napomena:

Dokazati da je četverokut $A_1B_1C_1D_1$ romb može se i na sljedeći način.

Neka su $|AB|=a$ i $|BC|=b$ duljine stranica pravokutnika $ABCD$.

Neka su veličine kutova u $\triangle D_1AA_1$:

$$|\angle D_1A_1A|=\alpha\quad\text{i}\quad|\angle AD_1A_1|=\beta.$$

Trokuti $\triangle D_1AA_1$, $\triangle A_1BB_1$, $\triangle B_1CC_1$ i $\triangle C_1DD_1$ su međusobno sukladni prema poučku S-K-S $\left(\frac{a}{2},90^\circ,\frac{b}{2}\right)$.

Iz njihove sukladnosti slijedi

$$|A_1B_1|=|B_1C_1|=|C_1D_1|=|D_1A_1|$$

i

$$\begin{aligned} |\angle D_1A_1A|&=|\angle BA_1B_1|=|\angle B_1C_1C|=|\angle DC_1D_1|=\alpha,\\ |\angle A_1B_1B|&=|\angle CB_1C_1|=|\angle C_1D_1D|=|\angle AD_1A_1|=\beta. \end{aligned}$$

Nadalje je $|\angle B_1A_1D_1|=|\angle D_1C_1B_1|=180^\circ-2\alpha$ i $|\angle C_1B_1A_1|=|\angle A_1D_1C_1|=180^\circ-2\beta$.

Prema tome, četverokut $A_1B_1C_1D_1$ je romb (sukladne stranice i sukladni nasuprotni kutovi).