2. Zadatak

Broj ekipa školske rukometne lige veći je od $18$ i manji od $30$ . Tijekom sezone svaka ekipa sa svakom preostalom ekipom odigra po dvije utakmice, jednu kao „domaćin“ i jednu kao „gost“. U posljednjoj je sezoni $35\%$ ukupnog broja utakmica završilo pobjedom gostujuće ekipe. Odredi najmanji i najveći mogući broj utakmica u kojima je pobijedila gostujuća ekipa.

Neka je $n$ broj rukometnih ekipa u ligi. Tada je $18<n<30$ .

Tijekom sezone odigra se $n(n-1)$ utakmica, a utakmica u kojima je pobijedila gostujuća ekipa bilo je

35\%\cdot n(n-1)=\frac{7}{20}n(n-1).

Kako $\frac{7}{20}n(n-1)$ mora biti prirodan broj, umnožak $n(n-1)$ mora biti djeljiv s $20$ .

S obzirom da su $n$ i $n-1$ uzastopni prirodni brojevi, oni su različite parnosti.

Stoga slijedi: $n$ je djeljiv s $20$ ili $n-1$ je djeljiv s $20$ ili je jedan od njih djeljiv s $5$ , a drugi s $4$ .

Jedini prirodan broj $n$ za koji je $18<n<30$ , a koji je djeljiv s $20$ je broj $20$ pa je $n=20$ .

Jedini prirodan broj $n-1$ u zadanom intervalu koji je djeljiv s $20$ je broj $20$ pa je $n=21$ .

Jedini prirodni brojevi $n$ i $n-1$ u zadanom intervalu takvi da je jedan od njih djeljiv s $5$ , a drugi s $4$ su $n=25$ i $n-1=24$ pa je $n=25$ .

Tablično:

$n$	$19$	$20$	$21$	$22$	$23$	$24$	$25$	$26$	$27$	$28$	$29$
$n-1$	$18$	$19$	$20$	$21$	$22$	$23$	$24$	$25$	$26$	$27$	$28$

Prema tome, $n\in\{20,21,25\}$ .

Najmanji mogući broj utakmica u kojima je pobijedila gostujuća ekipa dobije se za $n=20$ , a najveći za $n=25$ .

Najmanji mogući broj utakmica u kojima je pobijedila gostujuća ekipa je $\frac{7}{20}\cdot20\cdot19=133$ , a najveći $\frac{7}{20}\cdot25\cdot24=210$ .