3. Zadatak

Cijeli brojevi čija je apsolutna vrijednost manja od $2022$ su $-2021,-2020,\ldots,0,\ldots,2020,2021$.

Takvih je prirodnih brojeva $2021$.

Odredit ćemo koliko ima prirodnih brojeva koji su manji od $2022$, a koji nisu djeljivi ni s $3$ ni s $5$ ni sa $7$ i dobiveni broj pomnožiti s $2$.

Brojevi koji su djeljivi s $3$, $5$ i $7$ višekratnici su broja $3\cdot5\cdot7=105$. Budući da $2021:105$ daje $19$ i ostatak $26$, zaključujemo da je $19$ prirodnih brojeva manjih od $2022$ koji su djeljivi sa $105$.

Brojevi koji su djeljivi s $5$ i $7$ višekratnici su broja $5\cdot7=35$. Budući da $2021:35$ daje $57$ i ostatak $26$, zaključujemo da je $57$ prirodnih brojeva manjih od $2022$ koji su djeljivi s $35$.

Brojevi koji su djeljivi s $3$ i $7$ višekratnici su broja $3\cdot7=21$. Budući da $2021:21$ daje $96$ i ostatak $5$, zaključujemo da je $96$ prirodnih brojeva manjih od $2022$ koji su djeljivi s $21$.

Brojevi koji su djeljivi s $3$ i $5$ višekratnici su broja $5\cdot3=15$. Budući da $2021:15$ daje $134$ i ostatak $11$, zaključujemo da su $134$ prirodna broja manja od $2022$ koja su djeljiva s $15$.

Neka je $T$ skup višekratnika broja $3$, $P$ skup višekratnika broja $5$ i $S$ skup višekratnika broja $7$.

To se može prikazati Vennovim dijagramom:

Budući da $2021:3$ daje $673$ i ostatak $2$, zaključujemo da su $673$ prirodna broja manja od $2022$ koja su djeljiva s $3$.

Budući da $2021:5$ daje $404$ i ostatak $1$, zaključujemo da su $404$ prirodna broja manja od $2022$ koja su djeljiva s $5$.

Budući da $2021:7$ daje $288$ i ostatak $5$, zaključujemo da je $288$ prirodnih brojeva manjih od $2022$ koji su djeljivi sa $7$.

Prirodnih brojeva koji su djeljivi s $3$, $5$ ili $7$ manjih od $2022$ ima

$$462+232+154+19+77+38+115=1097.$$

Prirodnih brojeva koji nisu djeljivi ni s $3$ ni s $5$ ni sa $7$ manjih od $2022$ ima $2021-1097=924$.

Cijelih brojeva čija je apsolutna vrijednost manja od $2022$, a koji nisu djeljivi ni s $3$ ni s $5$ ni sa $7$ ima $924\cdot2=1848$.

Napomena:

Moguće je u svakom koraku promatrati broj cijelih brojeva, umjesto broja prirodnih brojeva s traženim svojstvom.

Cijelih brojeva čija je apsolutna vrijednost manja od $2022$, a koji nisu djeljivi ni s $3$ ni s $5$ ni sa $7$ ima

$$4043-(924+230+464+154+39+76+308)=1848.$$