1. Zadatak

Neka je $\overline{abcde}$ peteroznamenkasti broj s međusobno različitim znamenkama.

$$a,b,c,d,e\in\{0,1,2,\ldots,9\},\quad a\ne0.$$

Najmanji mogući zbroj $a+e$ je $1$ (znamenke $1$ i $0$), a najveći $17$ (znamenke $8$ i $9$).

Prema uvjetu zadatka je $a+e=b\cdot c\cdot d$.

Brojevi $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $7$, $9$, $11$, $13$ i $17$ ne mogu se prikazati kao umnošci triju različitih znamenaka pa je

$$a+e\in\{6,8,10,12,14,15,16\}.$$

Promotrimo slučajeve:

1) $a+e=6=1\cdot2\cdot3$

U ovom slučaju postoji $1$ mogućnost: $(a,e)=(6,0)$.

Znamenke $b$, $c$, $d$ mogu se izabrati na $3\cdot2\cdot1=6$ načina pa je brojeva tog oblika $1\cdot6=6$.

2) $a+e=8=1\cdot2\cdot4$

U ovom slučaju postoje $3$ mogućnosti: $(a,e)\in\{(8,0),(5,3),(3,5)\}$.

Znamenke $b$, $c$, $d$ mogu se izabrati na $3\cdot2\cdot1=6$ načina pa je brojeva tog oblika $3\cdot6=18$.

3) $a+e=10=1\cdot2\cdot5$

U ovom slučaju postoje $4$ mogućnosti: $(a,e)\in\{(7,3),(3,7),(6,4),(4,6)\}$.

Znamenke $b$, $c$, $d$ mogu se izabrati na $3\cdot2\cdot1=6$ načina pa je brojeva tog oblika $4\cdot6=24$.

4) $a+e=12=1\cdot2\cdot6$

U ovom slučaju postoji $6$ mogućnosti: $(a,e)\in\{(9,3),(3,9),(8,4),(4,8),(7,5),(5,7)\}$.

Znamenke $b$, $c$, $d$ mogu se izabrati na $3\cdot2\cdot1=6$ načina pa je brojeva tog oblika $6\cdot6=36$.

5) $a+e=12=1\cdot3\cdot4$

U ovom slučaju postoje $2$ mogućnosti: $(a,e)\in\{(7,5),(5,7)\}$.

Znamenke $b$, $c$, $d$ mogu se izabrati na $3\cdot2\cdot1=6$ načina pa je brojeva tog oblika $2\cdot6=12$.

6) $a+e=14=1\cdot2\cdot7$

U ovom slučaju postoje $4$ mogućnosti: $(a,e)\in\{(9,5),(5,9),(8,6),(6,8)\}$.

Znamenke $b$, $c$, $d$ mogu se izabrati na $3\cdot2\cdot1=6$ načina pa je brojeva tog oblika $4\cdot6=24$.

7) $a+e=15=1\cdot3\cdot5$

U ovom slučaju postoje $4$ mogućnosti: $(a,e)\in\{(9,6),(6,9),(8,7),(7,8)\}$.

Znamenke $b$, $c$, $d$ mogu se izabrati na $3\cdot2\cdot1=6$ načina pa je brojeva tog oblika $4\cdot6=24$.

8) $a+e=16=1\cdot2\cdot8$

U ovom slučaju postoje $2$ mogućnosti: $(a,e)\in\{(9,7),(7,9)\}$.

Znamenke $b$, $c$, $d$ mogu se izabrati na $3\cdot2\cdot1=6$ načina pa je brojeva tog oblika $2\cdot6=12$.

Brojeva traženog oblika ima ukupno: $6+18+24+36+12+24+24+12=156$.

Napomena:

Razmatranje može započeti i idejom da je najmanji umnožak triju različitih znamenaka (različitih od $0$) jednak $6$, a najveći $16$ (određen zbrojem dviju različitih znamenaka, mora biti manji od $17$).