5. Zadatak

Neka su $a,b,c\in\mathbb{N}$ duljine stranica trokuta i neka je $c=100$.

Tada je (zbog nejednakosti trokuta):

$$a+b>100,\quad a+100>b,\text{ tj. }b-a<100\quad\text{i}\quad b+100>a,\text{ tj. }a-b<100.$$

Prema uvjetu zadatka je $a,b<100$.

Prvi način:

Za odabranu vrijednost duljine $a$, $a<100$, ispisat ćemo sve mogućnosti za duljinu $b$ tako da trokuti budu nesukladni. Zbog $a+b>100$, $a+b$ mora biti barem $101$, a zbog $a,b<100$ je $a+b$ najviše $198$.

$a$	$99$	$98$	$97$	$\ldots$	$52$	$51$
moguće duljine $b$	$2,3,4,5,\ldots,99$	$3,4,5,\ldots,98$	$4,5,\ldots,97$	$\ldots$	$49,\ldots,52$	$50,51$
broj trokuta	$98$	$96$	$94$	$\ldots$	$4$	$2$

Broj trokuta koji zadovoljavaju uvjet zadatka je (primjenom Gaussove dosjetke)

$$98+96+94+\ldots+50+\ldots+4+2=24\cdot100+50=2450.$$

Drugi način:

Ispisat ćemo sve mogućnosti za duljine $a$ i $b$, redom, prema njihovom zbroju.

Zbog $a+b>100$, $a+b$ mora biti barem $101$, a zbog $a,b<100$ je $a+b$ najviše $198$.

$a+b$	moguće duljine $a$ i $b$	broj trokuta
$101$	$99,2$; $98,3$; $97,4$; $\ldots$; $52,49$; $51,50$	$99-50=49$
$102$	$99,3$; $98,4$; $97,5$; $\ldots$; $52,50$; $51,51$	$99-50=49$
$103$	$99,4$; $98,5$; $97,6$; $\ldots$; $52,51$	$99-51=48$
$104$	$99,5$; $98,6$; $97,7$; $\ldots$; $52,52$	$99-51=48$
$105$	$99,6$; $98,7$; $97,8$; $\ldots$; $53,52$	$99-52=47$
$106$	$99,7$; $98,8$; $97,9$; $\ldots$; $53,53$	$99-52=47$
$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$
$195$	$99,96$; $98,97$	$99-97=2$
$196$	$99,97$; $98,98$	$99-97=2$
$197$	$99,98$	$1$
$198$	$99,99$	$1$

Broj trokuta koji zadovoljavaju uvjet zadatka je (primjenom Gaussove dosjetke)

$$2\cdot(49+48+47+\ldots+2+1)=2\cdot[(49\cdot50):2]=2\cdot1225=2450.$$