4. Zadatak

Označimo duljine kateta pravokutnog trokuta s $a$ i $b$, pri čemu su $a,b\in\mathbb{N}$.

Prema Pitagorinom poučku imamo jednadžbu $a^2+b^2=2025^2$.

Tražimo sva rješenja jednadžbe $a^2+b^2=2025^2$, pri čemu su $a,b\in\mathbb{N}$.

Razmotrimo slučajeve mogućih ostataka kvadrata prirodnog broja $x$ pri dijeljenju s $3$.

Ako je $x=3k$, tada je ostatak pri dijeljenju izraza $(3k)^2$ s $3$ jednak $0$.

Ako je $x=3k\pm1$, tada je ostatak pri dijeljenju izraza $(3k\pm1)^2=9k^2\pm6k+1$ s $3$ jednak $1$.

Ostatci kvadrata prirodnog broja $x$ pri dijeljenju s $3$ mogu biti $0$ i $1$.

Kako je $2025^2$ djeljiv s $3$, zaključujemo da su i $a$ i $b$ djeljivi s $3$.

Uvrstimo li da su $a=3k$ i $b=3l$, pri čemu su $k,l\in\mathbb{N}$, imamo

$$(3k)^2+(3l)^2=2025^2.$$

Dijeljenjem jednadžbe s $9$ dobivamo

$$k^2+l^2=675^2.$$

Ponovimo li ovaj postupak još tri puta dobit ćemo jednadžbu

$$m^2+n^2=25^2,$$

pri čemu je $a=81m$ i $b=81n$, a $m,n\in\mathbb{N}$.

Kako $25^2$ daje ostatak $1$ pri dijeljenju $3$, jedan od brojeva $m$ i $n$ mora biti djeljiv s $3$, a kvadrat drugoga davati ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$.

Zato je dovoljno provjeriti slučajeve $m\in\{3,6,9,12,15,18,21,24\}$.

$m$	$n^2=25^2-m^2$	$n$
$3$	$616$	$n\notin\mathbb{N}$
$6$	$589$	$n\notin\mathbb{N}$
$9$	$544$	$n\notin\mathbb{N}$
$12$	$481$	$n\notin\mathbb{N}$
$15$	$400$	$n=20$
$18$	$301$	$n\notin\mathbb{N}$
$21$	$184$	$n\notin\mathbb{N}$
$24$	$49$	$n=7$

Moguće duljine kateta su

$$(a,b)=(81\cdot15,81\cdot20)=(1215,1620)\ \text{i}\ (a,b)=(81\cdot24,81\cdot7)=(1944,567).$$