1. Zadatak

Neka su središta kružnica $k_1$, $k_2$ i $k_3$ redom točke $S_1$, $S_2$ i $S_3$.

Međusobne udaljenosti središta kružnica $k_1$, $k_2$ i $k_3$ su:

$$\begin{aligned} |S_1S_2|&=9-3\sqrt{3}+3+3\sqrt{3}=12,\\ |S_2S_3|&=3+3\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3=6\sqrt{3},\\ |S_1S_3|&=9-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3=6. \end{aligned}$$

Kako za trokut $S_1S_2S_3$ vrijedi $|S_1S_2|^2=|S_2S_3|^2+|S_1S_3|^2$, prema obratu Pitagorina poučka zaključujemo da je on pravokutan i da je $|\angle S_1S_3S_2|=90^\circ$.

Duljina kraće katete jednaka je polovini duljine hipotenuze pa je trokut $S_1S_2S_3$ polovina jednakostraničnoga trokuta.

Šiljasti kutovi trokuta $S_1S_2S_3$ imaju veličine $|\angle S_2S_1S_3|=60^\circ$ i $|\angle S_3S_2S_1|=30^\circ$.

Tražena površina jednaka je razlici površine trokuta $S_1S_2S_3$ i zbroja površina kružnih isječaka određenih kružnim lukovima $\overset{\frown}{BA}$, $\overset{\frown}{AC}$ i $\overset{\frown}{CB}$.

Površina kružnog isječka određenog kružnim lukom $\overset{\frown}{BA}$ jednaka je $\frac{1}{12}$ površine kruga polumjera $3+3\sqrt{3}$.

Na isti način zaključujemo da je površina kružnog isječka određenog kružnim lukom $\overset{\frown}{AC}$ jednaka $\frac{1}{6}$ površine kruga polumjera $9-3\sqrt{3}$, a površina kružnog isječka određenog kružnim lukom $\overset{\frown}{CB}$ jednaka $\frac{1}{4}$ površine kruga polumjera $3\sqrt{3}-3$.

Stoga je tražena površina:

$$\begin{aligned} P&=\frac{1}{2}\cdot\frac{12^2\sqrt{3}}{4}-\left(\frac{1}{12}(3+3\sqrt{3})^2\pi+\frac{1}{6}(9-3\sqrt{3})^2\pi+\frac{1}{4}(3\sqrt{3}-3)^2\pi\right)\\ &=18\sqrt{3}-\left(\frac{1}{12}(9+18\sqrt{3}+27)\pi+\frac{1}{6}(81-54\sqrt{3}+27)\pi+\frac{1}{4}(27-18\sqrt{3}+9)\pi\right)\\ &=18\sqrt{3}-\left(\left(3+\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\pi+(18-9\sqrt{3})\pi+\left(9-\frac{9\sqrt{3}}{2}\right)\pi\right)\\ &=18\sqrt{3}-\left(\left(3+\frac{3\sqrt{3}}{2}+18-9\sqrt{3}+9-\frac{9\sqrt{3}}{2}\right)\pi\right)\\ &=18\sqrt{3}-(30-12\sqrt{3})\pi. \end{aligned}$$

Površina dijela ravnine omeđenog kružnim lukovima $\overset{\frown}{BA}$, $\overset{\frown}{AC}$ i $\overset{\frown}{CB}$ je $18\sqrt{3}-(30-12\sqrt{3})\pi$.