5. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je točka $E$ nožište visine iz točke $D$ na stranicu $\overline{AB}$.

Po uvjetu zadatka i Talesovom poučku o kutu nad promjerom, trokut $ABC$ je pravokutan s pravim kutom pri vrhu $C$.

Po uvjetu zadatka i primjenom Pitagorina poučka na trokut $ABC$ dobivamo

$$\begin{aligned} |AB|^2&=|AC|^2+|BC|^2\\ |AB|^2&=\left(\frac{5}{3}|BC|\right)^2+|BC|^2\\ |AB|^2&=\frac{34}{9}|BC|^2\\ |AB|&=\frac{\sqrt{34}}{3}|BC|. \end{aligned}$$

Prema K-K poučku trokuti $ABC$ i $ADE$ su slični pa je

$$\frac{|AE|}{|ED|}=\frac{|AC|}{|BC|}.$$

Kako je $|ED|=|EB|$, imamo

$$\begin{aligned} \frac{|AB|-|EB|}{|EB|}&=\frac{5}{3}\\ \frac{\frac{\sqrt{34}}{3}|BC|}{|EB|}&=\frac{8}{3}\\ \frac{|EB|}{|BC|}&=\frac{\sqrt{34}}{8}. \end{aligned}$$

Primjenom Pitagorina poučka na trokut $EBD$ imamo

$$|BD|=\sqrt{|EB|^2+|ED|^2}=\sqrt{|EB|^2+|EB|^2}=|EB|\sqrt{2},$$

pa je $|BD|=\frac{\sqrt{34}}{8}|BC|\sqrt{2}=\frac{\sqrt{17}}{4}|BC|$.

Primjenom Pitagorina poučka na trokut $BCD$ dobivamo

$$|DC|=\sqrt{|BD|^2-|BC|^2}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{17}}{4}|BC|\right)^2-|BC|^2}=\frac{|BC|}{4}.$$

Konačno je $|AD|=|AC|-|DC|=\frac{5}{3}|BC|-\frac{1}{4}|BC|=\frac{17}{12}|BC|$, odnosno $|AD|:|DC|=17:3$.

Drugo rješenje.

Po uvjetu zadatka i Talesovom poučku o kutu nad promjerom, trokut $ABC$ je pravokutan s pravim kutom pri vrhu $C$. Neka je točka $E$ nožište visine iz točke $D$ na stranicu $\overline{AB}$, točka $F$ točka na stranici $\overline{AC}$ takva da je $|CF|=|CB|$ te točka $G$ nožište visine iz $F$ na stranicu $\overline{AB}$.

Trokut $BCF$ je jednakokračan trokut pa je $|BC|=|CF|=\frac{3}{5}|AC|$.

Zbog toga je $|AF|=|AC|-|CF|=\frac{2}{5}|AC|$. Trokuti $ABC$ i $AGF$ su pravokutni trokuti sa zajedničkim kutom pri vrhu $A$, pa su ti trokuti slični po poučku K-K i vrijedi da je $|GF|=\frac{3}{5}|AG|$.

Primjenom Pitagorina poučka na trokut $AGF$ dobivamo

$$\begin{aligned} |AF|^2&=|AG|^2+|GF|^2\\ \left(\frac{2}{5}|AC|\right)^2&=|AG|^2+\left(\frac{3}{5}|AG|\right)^2\\ \frac{4}{25}|AC|^2&=\frac{34}{25}|AG|^2\\ |AG|&=\frac{\sqrt{34}}{17}|AC|. \end{aligned}$$

Tada je $|GF|=\frac{3}{5}|AG|=\frac{3\sqrt{34}}{85}|AC|$.

Primjenom Pitagorina poučka na trokut $ABC$ dobivamo

$$\begin{aligned} |AB|^2&=|AC|^2+|BC|^2\\ |AB|^2&=|AC|^2+\left(\frac{3}{5}|AC|\right)^2\\ |AB|^2&=\frac{34}{25}|AC|^2\\ |AB|&=\frac{\sqrt{34}}{5}|AC|. \end{aligned}$$

Tada je $|GB|=|AB|-|AG|=\frac{\sqrt{34}}{5}|AC|-\frac{\sqrt{34}}{17}|AC|=\frac{12\sqrt{34}}{85}|AC|$.

Trokuti $GBF$ i $BCD$ su pravokutni trokuti za koje vrijedi da kut s vrhom $B$ ima veličinu $|\angle CBA|-45^\circ$, pa su ti trokuti slični po K-K poučku.

Imamo:

$$\begin{aligned} |GF|:|CD|&=|GB|:|CB|\\ \frac{3\sqrt{34}}{85}|AC|:|DC|&=\frac{12\sqrt{34}}{85}|AC|:\frac{3}{5}|AC|\\ |DC|&=\left(\frac{3\sqrt{34}}{85}\cdot\frac{3}{5}:\frac{12\sqrt{34}}{85}\right)|AC|\\ |DC|&=\frac{3}{20}|AC|. \end{aligned}$$

Kako je $|AD|=|AC|-|CD|=\frac{17}{20}|AC|$, dobivamo da je traženi omjer $|AD|:|DC|=17:3$.