3. Zadatak

Pogledajmo prvo koliko ima šesteroznamenkastih brojeva koji počinju s izabranom znamenkom $a\in\{1,2,3,4,5,6\}$:

$$\underline{a}\ \_\ \_\ \_\ \_\ \_.$$

Njih ima $5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$, zato jer za svaku iduću znamenku imamo jednu mogućnost manje.

Kako je $4\cdot120=480<500$ i $5\cdot120=600>500$, slijedi da je $a=5$, pa traženi broj počinje znamenkom 5.

Promatramo sada brojeve

$$\underline{5}\ \underline{b}\ \_\ \_\ \_\ \_,$$

pri čemu je $b\in\{1,2,3,4,6\}$ izabrana znamenka. Takvih brojeva ima $4\cdot3\cdot2\cdot1=24$.

Sada, kako je $480+24=504>500$, mora biti $b=1$.

Postupak nastavljamo dalje. Promatramo brojeve

$$\underline{5}\ \underline{1}\ \underline{c}\ \_\ \_\ \_,$$

pri čemu je $c\in\{2,3,4,6\}$ izabrana znamenka. Takvih brojeva ima $3\cdot2\cdot1=6$.

Kako je $480+3\cdot6=498<500$ i $480+4\cdot6=504>500$, slijedi da je $c=6$.

Nadalje, promatramo brojeve

$$\underline{5}\ \underline{1}\ \underline{6}\ \underline{d}\ \_\ \_,$$

pri čemu je $d\in\{2,3,4\}$. Za izabranu znamenku $d$, tih brojeva ima $2\cdot1=2$.

Konačno, kako je $480+3\cdot6+2=500$, mora biti $d=2$. Štoviše, kako je $480+3\cdot6+2=500$, traženi broj mora biti najveći broj oblika $5162ef$ iz promatranog skupa brojeva, pa je $e=4$, $f=3$.

Dakle, na petstotom mjestu se nalazi broj 516243.