5. Zadatak

Neka je duljina stranice trokuta $ABC$ jednaka $a$.

Kako je površina trokuta $ABC$ jednaka zbroju površina trokuta $AMC$ i $MBC$, slijedi da je

$$\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{a\cdot|MP|}{2}+\frac{a\cdot|MQ|}{2},$$

odakle je

$$|MP|+|MQ|=\frac{a\sqrt3}{2}.\tag{1}$$

Pravokutni trokut $P_1MP$ ima šiljaste kutove od $30^\circ$ i $60^\circ$, pa je on polovina jednakostraničnog trokuta. Zbog toga je $\overline{P_1M}$ visina jednakostraničnog trokuta sa stranicom $\overline{PM}$, pa je

$$|P_1M|=\frac{|PM|\sqrt3}{2}.$$

Slično, pravokutni trokut $MQ_1Q$ je polovina jednakostraničnog trokuta, pa je

$$|MQ_1|=\frac{|MQ|\sqrt3}{2}.$$

Stoga, zbog jednakosti (1) vrijedi

$$\begin{aligned} |P_1Q_1|&=|P_1M|+|MQ_1|=\frac{|PM|\sqrt3}{2}+\frac{|MQ|\sqrt3}{2}\\ &=(|PM|+|MQ|)\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3a}{4}=\frac34|AB|. \end{aligned}$$