2. Zadatak

Neka su $a$ i $b$ neparni brojevi. Tada ih možemo prikazati u obliku $a=2m+1$ i $b=2n+1$, pri čemu su $m$ i $n$ cijeli brojevi. Sada je

$$a^2-b^2=(2m+1)^2-(2n+1)^2=(4m^2+4m+1)-(4n^2+4n+1)=4(m^2+m-n^2-n),$$

odakle odmah slijedi da je razlika kvadrata djeljiva s 4.

Preostalo je još dokazati da je broj $m^2+m-n^2-n$ paran, tj. djeljiv s 2. Naime, taj broj možemo zapisati u obliku $m^2+m-n^2-n=m(m+1)-n(n+1)$.

Sada, brojevi $m(m+1)$ i $n(n+1)$ su umnošci dvaju uzastopnih cijelih brojeva, pa su oni parni. Stoga je i njihova razlika paran broj, odakle slijedi da je broj $m^2+m-n^2-n$ djeljiv s 2.

Dakle, razlika kvadrata dvaju neparnih brojeva je djeljiva s $4\cdot2=8$, što je i trebalo dokazati.