5. Zadatak

Prvi način:

Vrijedi

$$mn+2m-2n-4+4=2020.$$

Nadalje je

$$m(n+2)-2(n+2)+4=2020,$$

odnosno

$$(m-2)(n+2)=2016.$$

Broj $n+2$ je djelitelj broja 2 016.

Rastavimo broj 2 016 na proste faktore:

$$2016=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot7=2^5\cdot3^2\cdot7.$$

Svaki djelitelj broja 2 016 je oblika $2^a\cdot3^b\cdot7^c$, gdje je

$$a\in\{0,1,2,3,4,5\},\qquad b\in\{0,1,2\},\qquad c\in\{0,1\}.$$

Broj prirodnih djelitelja broja 2 016 jednak je $6\cdot3\cdot2=36$.

Djelitelji broja 2 016 koji ne zadovoljavaju uvjete zadatka su brojevi 1 i 2 jer ako je $n+2=1$ i $n+2=2$, tada $n$ nije prirodan broj, a u ostalim je slučajevima broj $n$ prirodan pa postoje 34 prirodna broja $n$ koji zadovoljavaju uvjete zadatka.

Za svaki takav $n$ jednoznačno je određen prirodni broj $m$ koji zadovoljava polaznu jednadžbu jer je ona ekvivalentna s

$$m=2+\frac{2016}{n+2}.$$

Dakle, postoje 34 uređena para $(m,n)$ prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu $mn+2m-2n=2020$.

Drugi način:

Rješavanjem polazne jednadžbe po $m$ dobivamo

$$m(n+2)=2n+2020.$$

Nadalje je

$$m=\frac{2n+2020}{n+2},$$

odnosno

$$m=2+\frac{2016}{n+2}.$$

Broj $n+2$ je djelitelj broja 2 016.

Rastavimo broj 2 016 na proste faktore:

$$2016=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot7=2^5\cdot3^2\cdot7.$$

Svaki djelitelj broja 2 016 je oblika $2^a\cdot3^b\cdot7^c$, gdje je

$$a\in\{0,1,2,3,4,5\},\qquad b\in\{0,1,2\},\qquad c\in\{0,1\}.$$

Broj prirodnih djelitelja broja 2 016 jednak je $6\cdot3\cdot2=36$.

Djelitelji broja 2 016 koji ne zadovoljavaju uvjete zadatka su brojevi 1 i 2 jer ako je $n+2=1$ i $n+2=2$, tada $n$ nije prirodan broj, a u ostalim je slučajevima broj $n$ prirodan pa postoje 34 prirodna broja $n$ koji zadovoljavaju uvjete zadatka.

Za svaki takav $n$ jednoznačno je određen prirodni broj $m$ koji zadovoljava polaznu jednadžbu jer je ona ekvivalentna s

$$m=2+\frac{2016}{n+2}.$$

Dakle, postoje 34 uređena para $(m,n)$ prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu $mn+2m-2n=2020$.

Treći način:

Vrijedi

$$mn+2m-2n-4+4=2020.$$

Nadalje je

$$m(n+2)-2(n+2)+4=2020,$$

odnosno

$$(m-2)(n+2)=2016.$$

Broj $n+2$ je djelitelj broja 2 016.

Rastavimo broj 2 016 na proste faktore:

$$2016=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot7=2^5\cdot3^2\cdot7.$$

Prirodni djelitelji broja 2016 su: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 42, 48, 56, 63, 72, 84, 96, 112, 126, 144, 168, 224, 252, 288, 336, 504, 672, 1 008 i 2 016, ima ih 36.

U slučaju $n+2=1$ i $n+2=2$ broj $n$ nije prirodan.

Za preostalih 34 slučaja $n$ je prirodni broj.

Inače, iz preostalih slučajeva slijedi da $n$ može biti:

$$1,2,4,5,6,7,10,12,14,16,19,22,26,30,34,40,46,54,61,70,82,94,110,124,142,166,222,$$ $$250,286,334,502,670,1006,2014.$$

Za svaki takav $n$ jednoznačno je određen prirodni broj $m$ koji zadovoljava polaznu jednadžbu jer je ona ekvivalentna s

$$m=2+\frac{2016}{n+2}.$$

Inače, odgovarajući broj $m$ redom može biti:

$$674,506,338,290,254,226,170,146,128,114,98,86,74,65,58,50,44,38,34,30,26,23,20,18,$$ $$16,14,11,10,9,8,6,5,4,3.$$

Dakle, postoje 34 uređena para $(m,n)$ prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu $mn+2m-2n=2020$.