3. Zadatak

Prvi način:

Trokut $\triangle DEC$ je jednakostraničan trokut, pa je $|\angle EDC|=|\angle CED|=|\angle DCE|=60^\circ$.

Kutovi $\angle EDC$ i $\angle ADN$ su vršni kutovi, pa je $|\angle EDC|=|\angle ADN|=60^\circ$.

Trokut $\triangle AND$ je pravokutan trokut i $|\angle ADN|=60^\circ$, pa je $|\angle NAD|=30^\circ$.

Pravac AD je simetrala kuta $\angle NAC$ i $|\angle NAD|=|\angle DAC|=30^\circ$, pa je $|\angle NAC|=60^\circ$.

Trokut $\triangle ANC$ je pravokutan trokut i $|\angle NAC|=60^\circ$, pa je $|\angle ACN|=30^\circ$.

$|\angle ACN|=30^\circ$ i $|\angle DCE|=60^\circ$, pa je $|\angle ACB|=90^\circ$.

Dakle, trokut $\triangle ABC$ je pravokutan trokut. Slijedi da je $|\angle CBA|=30^\circ$.

Neka je stranica jednakostraničnog trokuta $\triangle DEC$ duljine $x$.

Površina trokuta $\triangle DEC$ je $4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2$, pa je

$$\frac{x^2}{4}\sqrt{3}=4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2.$$

Rješavanjem jednadžbe slijedi da je $x=4\ \mathrm{cm}$.

Dva kuta (uz stranicu $\overline{AC}$) u trokutu $\triangle ADC$ su veličine $30^\circ$, pa je trokut $\triangle ADC$ jednakokračan trokut s osnovicom $\overline{AC}$.

Dužina $\overline{CF}$ je kateta pravokutnog trokuta $\triangle CFD$ (odnosno visina jednakostraničnog trokuta stranice duljine $x$), pa je

$$|CF|=\frac{x}{2}\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}.$$

Slijedi da je $|AC|=2|CF|=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.

Dva kuta (uz stranicu $\overline{AB}$) u trokutu $\triangle ABE$ su veličine $30^\circ$, pa je trokut $\triangle ABE$ jednakokračan trokut s osnovicom $\overline{AB}$.

Dakle, slijedi da je $|BE|=|AE|=2x=8\ \mathrm{cm}$.

Zato je $|BC|=|BE|+|EC|=12\ \mathrm{cm}$.

Duljine kateta trokuta $\triangle ABC$ su 12 cm i $4\sqrt{3}$ cm, pa je njegova površina

$$P=\frac{12\cdot4\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2.$$

Napomena: Duljina dužine $\overline{CF}$ može se izračunati i izračunom duljine dužine $\overline{DF}$ i potom primjenom Pitagorinog poučka na trokut $\triangle CFD$.

Drugi način:

Trokut $\triangle DEC$ je jednakostraničan trokut, pa je $|\angle EDC|=|\angle CED|=|\angle DCE|=60^\circ$.

Kutovi $\angle EDC$ i $\angle ADN$ su vršni kutovi, pa je $|\angle EDC|=|\angle ADN|=60^\circ$.

Trokut $\triangle AND$ je pravokutan trokut i $|\angle ADN|=60^\circ$, pa je $|\angle NAD|=30^\circ$.

Pravac AD je simetrala kuta $\angle NAC$ i $|\angle NAD|=|\angle DAC|=30^\circ$, pa je $|\angle NAC|=60^\circ$.

Trokut $\triangle ANC$ je pravokutan trokut i $|\angle NAC|=60^\circ$, pa je $|\angle ACN|=30^\circ$.

$|\angle ACN|=30^\circ$ i $|\angle DCE|=60^\circ$, pa je $|\angle ACB|=90^\circ$.

Dakle, trokut $\triangle ABC$ je pravokutan trokut. Slijedi da je $|\angle CBA|=30^\circ$.

Neka je stranica jednakostraničnog trokuta $\triangle DEC$ duljine $x$.

Površina trokuta $\triangle DEC$ je $4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2$, pa je

$$\frac{x^2}{4}\sqrt{3}=4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2.$$

Rješavanjem jednadžbe slijedi da je $x=4\ \mathrm{cm}$.

Dva kuta (uz stranicu $\overline{AC}$) u trokutu $\triangle ADC$ su veličine $30^\circ$, pa je trokut $\triangle ADC$ jednakokračan trokut s osnovicom $\overline{AC}$, odakle slijedi da je $|AD|=|CD|=x$. Kako je $\overline{DN}$ kateta pravokutnog trokuta $\triangle AND$ nasuprot kutu veličine $30^\circ$, onda je $|DN|$ jednaka polovini duljine stranice $x$ jednakostraničnog trokuta.

$$|DN|=\frac{x}{2}=2\ \mathrm{cm},$$

odnosno $|CN|=|CD|+|DN|=6\ \mathrm{cm}$.

Trokut $\triangle CAN$ je pravokutan trokut, pri čemu je kateta $CN$ nasuprot kutu veličine $60^\circ$ (odnosno visina jednakostraničnog trokuta sa stranicom $AC$), pa je

$$|CN|=\frac{|AC|}{2}\sqrt{3},\qquad\text{tj.}\qquad |AC|=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot6=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}.$$

Trokut $\triangle CNB$ je pravokutan trokut, pri čemu je kateta $CN$ nasuprot kutu veličine $30^\circ$ (polovina stranice jednakostraničnog trokuta), pa je $|BC|=2|CN|=12\ \mathrm{cm}$.

Duljine kateta trokuta $\triangle ABC$ su 12 cm i $4\sqrt{3}$ cm, pa je njegova površina

$$P=\frac{12\cdot4\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2.$$

Treći način:

Trokut $\triangle DEC$ je jednakostraničan trokut, pa je $|\angle EDC|=|\angle CED|=|\angle DCE|=60^\circ$.

Kutovi $\angle EDC$ i $\angle ADN$ su vršni kutovi, pa je $|\angle EDC|=|\angle ADN|=60^\circ$.

Trokut $\triangle AND$ je pravokutan trokut i $|\angle ADN|=60^\circ$, pa je $|\angle NAD|=30^\circ$.

Pravac AD je simetrala kuta $\angle NAC$ i $|\angle NAD|=|\angle DAC|=30^\circ$, pa je $|\angle NAC|=60^\circ$.

Trokut $\triangle ANC$ je pravokutan trokut i $|\angle NAC|=60^\circ$, pa je $|\angle ACN|=30^\circ$.

$|\angle ACN|=30^\circ$ i $|\angle DCE|=60^\circ$, pa je $|\angle ACB|=90^\circ$.

Dakle, trokut $\triangle ABC$ je pravokutan trokut. Slijedi da je $|\angle CBA|=30^\circ$.

Neka je stranica jednakostraničnog trokuta $\triangle DEC$ duljine $x$.

Površina trokuta $\triangle DEC$ je $4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2$, pa je

$$\frac{x^2}{4}\sqrt{3}=4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2.$$

Rješavanjem jednadžbe slijedi da je $x=4\ \mathrm{cm}$.

(skica s docrtanim osnosimetričnim jednakostraničnim trokutima)

Trokuti $\triangle DEC$ i $\triangle D'DC$ su jednakostranični trokuti sa stranicom duljine $x$, a trokut $\triangle E'BE$ je jednakostraničan trokut sa stranicom duljine $2x$.

Površina trokuta $\triangle ABC$ jednaka je zbroju površina jednakostraničnih trokuta $\triangle DEC$, $\triangle D'DC$ i $\triangle E'BE$, odnosno za površinu $P$ trokuta $\triangle ABC$ vrijedi $P=P_{DEC}+P_{D'DC}+P_{E'BE}$.

Tada je

$$P=2\cdot4\sqrt{3}+\frac{8^2}{4}\sqrt{3},$$

odnosno $P=8\sqrt{3}+16\sqrt{3}$.

Površina trokuta $\triangle ABC$ je $P=24\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$.