1. Zadatak

Prvi način:

Neka je $x$ prvi u nizu 50 uzastopnih parnih prirodnih brojeva.

1. broj $x$

2. broj $x+2$

3. broj $x+4$

4. broj $x+98$

Aritmetička sredina tog niza parnih brojeva iznosi:

$$\frac{x+x+2+x+4+\dots+x+98}{50}=\frac{50x+50\cdot49}{50}=x+49.$$

Neka je $y$ prvi u nizu 41 uzastopnih neparnih prirodnih brojeva.

1. broj $y$

2. broj $y+2$

3. broj $y+4$

4. broj $y+80$

Aritmetička sredina tog niza neparnih brojeva iznosi:

$$\frac{y+y+2+y+4+\dots+y+80}{41}=\frac{41y+41\cdot40}{41}=y+40.$$

Kako su aritmetičke sredine jednake, slijedi $x+49=y+40$, odnosno $x+9=y$.

Najveći paran broj u nizu parnih brojeva je $x+98$, a srednji po veličini neparan broj u nizu neparnih brojeva je $y+40$.

Razlika kvadrata tih brojeva iznosi 7 595:

$$(x+98)^2-(y+40)^2=7\,595,$$

odnosno

$$(x+98)^2-(x+49)^2=7\,595.$$

Dalje je:

$$(x+98+x+49)(x+98-x-49)=7\,595,$$ $$(2x+147)\cdot49=7\,595.$$

Napomena 1: Umjesto rastavom razlike kvadrata može i kvadriranjem:

$$x^2+196x+9\,604-(x^2+98x+2\,401)=7\,595.$$ $$98x+7\,203=7\,595.$$

Rješavanjem jednadžbe dobivamo $x=4$.

Dalje je $y=x+9=13$.

Parni brojevi su $4,6,8,10,\dots,100$ i $102$, a neparni $13,15,17,19,\dots,91$ i $93$.

Drugi način:

Neka je $2n$ prvi u nizu 50 uzastopnih parnih prirodnih brojeva, $n\in\mathbb{N}$.

1. broj $2n$

2. broj $2n+2$

3. broj $2n+4$

4. broj $2n+98$

Aritmetička sredina tog niza parnih brojeva iznosi:

$$\frac{2n+2n+2+2n+4+\dots+2n+98}{50}=\frac{100n+50\cdot49}{50}=2n+49.$$

Neka je $2k+1$ prvi u nizu 41 uzastopnih neparnih prirodnih brojeva, $k\in\mathbb{N}_0$.

1. broj $2k+1$

2. broj $2k+3$

3. broj $2k+5$

4. broj $2k+81$

Aritmetička sredina tog niza neparnih brojeva iznosi:

$$\frac{2k+1+2k+3+2k+5+\dots+2k+81}{41}=\frac{82k+41\cdot41}{41}=2k+41.$$

Kako su aritmetičke sredine jednake, slijedi $2n+49=2k+41$, odnosno $n+4=k$.

Najveći paran broj u nizu parnih brojeva je $2n+98$, a srednji po veličini neparan broj u nizu neparnih brojeva je $2k+41$.

Razlika kvadrata tih brojeva iznosi 7 595:

$$(2n+98)^2-(2k+41)^2=7\,595,$$

odnosno

$$(2n+98)^2-(2n+49)^2=7\,595.$$

Dalje je:

$$(2n+98+2n+49)(2n+98-2n-49)=7\,595,$$ $$(4n+147)\cdot49=7\,595.$$

Napomena 1: Umjesto rastavom razlike kvadrata može i kvadriranjem:

$$4n^2+392n+9\,604-(4n^2+196n+2\,401)=7\,595.$$ $$196n+7\,203=7\,595.$$

Rješavanjem jednadžbe dobivamo $n=2$.

Dalje je $k=n+4=6$.

Parni brojevi su $4,6,8,10,\dots,100$ i $102$, a neparni $13,15,17,19,\dots,91$ i $93$.