4. Zadatak

Prvi način:

$$A=n^3+6n^2+8n=n(n^2+6n+8)=n(n^2+6n+9-1)=n((n+3)^2-1)$$ $$=n(n+3-1)(n+3+1)=n(n+2)(n+4).$$

a) Brojevi $n$, $n+2$ i $n+4$ daju različite ostatke pri dijeljenju s 3 pa je točno jedan od njih djeljiv s 3.

Barem jedan od faktora umnoška je djeljiv s 3 pa je i umnožak djeljiv s 3.

b) Ako je $A$ djeljiv s 3 i s 32, tada je $A$ djeljiv s 96 ($3\cdot32=96$, 3 i 32 su relativno prosti brojevi).

Pokazano je da je $A$ djeljiv s 3 za svaki prirodni broj $n$. Treba pokazati za koje je prirodne brojeve $n$ broj $A$ djeljiv s 32.

Ako je $n$ neparan, faktori $n$, $n+2$ i $n+4$ su neparni, pa je $A$ neparan i ne može biti djeljiv s 32.

Od tri uzastopna parna broja, barem jedan je djeljiv s 4.

Ako je $n$ djeljiv s 4, tj. $n=4k$, $k\in\mathbb{N}$, tada je

$$A=4k(4k+2)(4k+4)=32k(2k+1)(k+1),$$

pa je broj $A$ djeljiv s 32.

Ako je $n+2$ djeljiv s 4, tj. $n+2=4k$, $k\in\mathbb{N}$, tada je

$$A=(4k-2)4k(4k+2)=16(2k-1)k(2k+1).$$

Ako je $k$ neparan, tada su i faktori $2k-1$, $2k+1$ neparni, pa $A$ nije djeljiv s 32.

Ako je $k$ paran, tada je $A$ djeljiv s 32.

Prirodni brojevi $n$ za koje je $A$ djeljiv s 96 su svi brojevi oblika $n=4k$, $k\in\mathbb{N}$ i svi brojevi oblika $n=4k-2$, gdje je $k\in\mathbb{N}$ i $k$ je paran broj.

Ili:

Neka je $k=2m$, $m\in\mathbb{N}$. Tada je $n=4k-2=8m-2$. Broj $n$ je prirodan broj koji pri dijeljenju s 8 daje ostatak 6.

Prirodni brojevi $n$ za koje je $A$ djeljiv s 96 su svi brojevi koji su djeljivi s 4 i svi brojevi koji pri dijeljenju s 8 daju ostatak 6.

Napomena 2: Broj $A$ može se rastaviti i na sljedeći način:

$$A=n^3+6n^2+8n=n^3+4n^2+2n^2+8n=n^2(n+4)+2n(n+4)$$ $$=(n^2+2n)(n+4)=n(n+2)(n+4).$$

Napomena 3: U a) dijelu zadatka djeljivost brojem 3 može se obrazložiti na sljedeći način:

Broj $n$, s obzirom na djeljivost brojem 3, može biti oblika $3k$, $3k+1$ ili $3k+2$.

Neka je $n=3k$, $k\in\mathbb{N}$. Tada je

$$A=3k(3k+2)(3k+4)$$

pa je $A$ djeljiv s 3.

Neka je $n=3k+1$, $k\in\mathbb{N}_0$. Tada je

$$A=(3k+1)(3k+3)(3k+5)=3(3k+1)(k+1)(3k+5)$$

pa je $A$ djeljiv s 3.

Neka je $n=3k+2$, $k\in\mathbb{N}_0$. Tada je

$$A=(3k+2)(3k+4)(3k+6)=3(3k+2)(3k+4)(k+2)$$

pa je $A$ djeljiv s 3.

Drugi način:

$$A=n^3+6n^2+8n.$$

a) S obzirom na djeljivost brojem 3, $n$ može biti oblika $3k$, $3k+1$ ili $3k+2$.

Neka je $n=3k$, $k\in\mathbb{N}$. Tada je

$$A=(3k)^3+6(3k)^2+8\cdot3k=27k^3+54k^2+24k=3(9k^3+18k^2+8k),$$

pa je $A$ djeljiv s 3.

Ili

$$A=(3k)^3+6(3k)^2+8\cdot3k=27k^3+54k^2+24k,$$

svi su pribrojnici djeljivi s 3 pa je i zbroj djeljiv s 3.

Neka je $n=3k+1$, $k\in\mathbb{N}_0$. Tada je

$$A=(3k+1)^3+6(3k+1)^2+8\cdot(3k+1)=27k^3+81k^2+69k+15$$ $$=3(9k^3+27k^2+23k+5),$$

pa je $A$ djeljiv s 3.

Ili

$$A=(3k+1)^3+6(3k+1)^2+8\cdot(3k+1)=27k^3+81k^2+69k+15,$$

svi su pribrojnici djeljivi s 3 pa je i zbroj djeljiv s 3.

Neka je $n=3k+2$, $k\in\mathbb{N}_0$. Tada je

$$A=(3k+2)^3+6(3k+2)^2+8\cdot(3k+2)=27k^3+108k^2+132k+48$$ $$=3(9k^3+36k^2+44k+16),$$

pa je $A$ djeljiv s 3.

Ili

$$A=(3k+2)^3+6(3k+2)^2+8\cdot(3k+2)=27k^3+108k^2+132k+48,$$

svi su pribrojnici djeljivi s 3 pa je i zbroj djeljiv s 3.

b) Ako je $A$ djeljiv s 3 i s 32, tada je $A$ djeljiv s 96 ($3\cdot32=96$, 3 i 32 su relativno prosti brojevi).

Kako je $6n^2+8n$ paran broj, tada je $A$ paran ako i samo ako je $n^3$ paran, odnosno ako i samo ako je $n$ paran.

Dakle, ako je $n$ neparan tada $A$ nije djeljiv s 32.

Za parne brojeve $n$ promotrimo sljedeće slučajeve:

Neka je $n=4k$, $k\in\mathbb{N}$. Tada je

$$A=(4k)^3+6(4k)^2+8\cdot4k=32(2k^3+3k^2+k),$$

pa je $A$ djeljiv s 32.

Neka je $n=8k-2$, $k\in\mathbb{N}$. Tada je

$$A=(8k-2)^3+6(8k-2)^2+8\cdot(8k-2)$$ $$=8((4k)^3-3\cdot(4k)^2+3\cdot4k-1)+24((4k)^2-8k+1)+16(4k-1)$$ $$=32(16k^3-k),$$

pa je $A$ djeljiv s 32.

Neka je $n=8k+2$, $k\in\mathbb{N}_0$. Tada je

$$A=(8k+2)^3+6(8k+2)^2+8\cdot(8k+2)$$ $$=8((4k)^3+3\cdot(4k)^2+3\cdot4k+1)+24((4k)^2+8k+1)+16(4k+1)$$ $$=32(16k^3+24k^2+11k+1)+16,$$

pa $A$ nije djeljiv s 32.