2. Zadatak

Prvi način:

Neka je, nakon bacanja kocke tri puta, ishod prikazan uređenom trojkom $(a,b,c)$.

Broj svih uređenih trojki (svih ishoda) iznosi $6\cdot6\cdot6=216$.

Umnožak $a\cdot b\cdot c$ višekratnik je broja 10, tj. umnožak je oblika $10k$, $k\in\{1,2,\ldots,21\}$.

Višekratnici 70, 110, 130, 140, 170, 190 i 210 ne mogu biti traženi umnošci jer na stranama kocke ne postoje brojevi 7, 11, 13, 17 i 19.

Višekratnici 160 i 200 se ne mogu postići bacanjem kocke tri puta.

Dakle, traženi umnošci mogu biti 10, 20, 30, 40, 50, 60, 80, 90, 100, 120, 150 i 180.

Ako su brojevi na kockama različiti, tada imamo 6 mogućnosti tj. 6 različitih uređenih trojki (npr. $10=1\cdot2\cdot5=1\cdot5\cdot2=2\cdot1\cdot5=2\cdot5\cdot1=5\cdot1\cdot2=5\cdot2\cdot1$).

Ako su dva broja na kockama jednaka, tada imamo 3 mogućnosti tj. 3 različite uređene trojke (npr. $20=2\cdot2\cdot5=2\cdot5\cdot2=5\cdot2\cdot2$).

Tri broja na kockama ne mogu biti jednaka, a da umnožak bude višekratnik broja 10.

Popis svih mogućih dobrih rastava i broja mogućnosti za svaki od njih dani su u tablici.

umnožak	brojevi na kockama su različiti	broj mogućnosti	dva broja na kockama su jednaka	broj mogućnosti
10	$(1,2,5)$	6 mogućnosti
20	$(1,4,5)$	6 mogućnosti	$(2,2,5)$	3 mogućnosti
30	$(1,5,6)$	6 mogućnosti
	$(2,3,5)$	6 mogućnosti
40	$(2,4,5)$	6 mogućnosti
50			$(2,5,5)$	3 mogućnosti
60	$(2,5,6)$	6 mogućnosti
	$(3,4,5)$	6 mogućnosti
80			$(4,4,5)$	3 mogućnosti
90	$(3,5,6)$	6 mogućnosti
100			$(4,5,5)$	3 mogućnosti
120	$(4,5,6)$	6 mogućnosti
150			$(5,5,6)$	3 mogućnosti
180			$(5,6,6)$	3 mogućnosti
ukupno		54 mogućnosti		18 mogućnosti

Broj povoljnih trojki (povoljnih ishoda) je 72.

Vjerojatnost iznosi

$$p=\frac{72}{216}=\frac{1}{3}.$$

Drugi način:

Neka je, nakon bacanja kocke tri puta, ishod prikazan uređenom trojkom $(a,b,c)$.

Broj svih uređenih trojki (svih ishoda) iznosi $6\cdot6\cdot6=216$.

Umnožak $a\cdot b\cdot c$ je djeljiv s 10 ako i samo ako je jedan od dobivenih brojeva jednak 5 i jedan od preostala dva broja paran (tj. jednak 2, 4 ili 6).

Broj povoljnih slučajeva dobit ćemo zbrajanjem mogućnosti dobivanja:

a) jedne petice i dva parna broja,

b) jedne petice, jednog parnog broja i jednog neparnog broja koji nije 5,

c) jednog parnog broja i dvije petice.

Pod a) za svaki parni broj imamo po 3 mogućnosti, a kako 5 može biti bilo koji od brojeva $a$, $b$, $c$, ovdje imamo

$$3^2\cdot3=27$$

mogućnosti.

Pod b) parni broj biramo na 3 načina, a neparni na 2, a broj rasporeda (permutacija) je 6, što daje

$$3\cdot2\cdot6=36$$

mogućnosti.

Pod c) parni broj je jedan od brojeva 2, 4 ili 6 (to su 3 mogućnosti), a kako taj broj može biti bilo koji od brojeva $a$, $b$, $c$, imamo ukupno

$$3\cdot3=9$$

mogućnosti.

Broj povoljnih ishoda je 72.

Dakle, vjerojatnost iznosi

$$p=\frac{72}{216}=\frac{1}{3}.$$

Treći način:

Neka je, nakon bacanja kocke tri puta, ishod prikazan uređenom trojkom $(a,b,c)$.

Broj svih uređenih trojki (svih ishoda) iznosi $6\cdot6\cdot6=216$.

Prebrojat ćemo slučajeve kada umnožak $a\cdot b\cdot c$ nije djeljiv s 10. To će se dogoditi ako nijedan od brojeva nije djeljiv s 5 i ako nijedan nije paran, odnosno ako

a) nijednom nije pao broj 5, a takvih je

$$5\cdot5\cdot5=125$$

mogućnosti (na raspolaganju su samo brojevi 1, 2, 3, 4 i 6),

b) nijednom nije pao paran broj, što daje

$$3\cdot3\cdot3=27$$

mogućnosti (jer je pri svakom bacanju kocke pao neki od brojeva 1, 3 ili 5).

Međutim, pod a) i b) dvostruko brojimo situacije kada nije pao ni broj 5 niti paran broj (kao što je npr. slučaj $a=1$, $b=3$, $c=1$). Takvih slučajeva ima

$$2\cdot2\cdot2=8$$

(jer su na raspolaganju samo brojevi 1 i 3).

Od zbroja brojeva mogućnosti pod a) i b) treba oduzeti broj mogućnosti koje smo dvostruko brojali, dakle, postoje

$$125+27-8=144$$

mogućnosti da umnožak NE bude djeljiv s 10.

Zato je u $216-144=72$ slučaja umnožak djeljiv s 10.

Dakle, vjerojatnost iznosi

$$p=\frac{72}{216}=\frac{1}{3}.$$