5. Zadatak

Zbroj prvih $n$ prirodnih brojeva je $\frac{n\cdot(n+1)}{2}$.

Zbroj kvadrata triju uzastopnih prirodnih brojeva, za $m\in\mathbb{N}$ i $m\geq2$ zapisujemo

$$(m-1)^2+m^2+(m+1)^2=m^2-2m+1+m^2+m^2+2m+1=3m^2+2.$$

Kako prirodni broj $3m^2+2$ pri dijeljenju s $3$ daje ostatak $2$, razmotrimo slučajeve mogućih ostataka broja $\frac{n\cdot(n+1)}{2}$ pri dijeljenju s $3$.

1. Ako je $n=3k$, za $k\in\mathbb{N}$, onda je $\frac{n\cdot(n+1)}{2}=\frac{3k\cdot(3k+1)}{2}$ prirodan broj koji pri dijeljenju s $3$ daje ostatak $0$.

2. Ako je $n=3k+1$, $k\in\mathbb{N}_0$, onda je

$$\frac{n\cdot(n+1)}{2} =\frac{(3k+1)\cdot(3k+2)}{2} =\frac{9k^2+9k+2}{2} =3\cdot\frac{3k\cdot(k+1)}{2}+1$$

prirodan broj koji pri dijeljenju s $3$ daje ostatak $1$.

3. Ako je $n=3k+2$, $k\in\mathbb{N}_0$, onda je

$$\frac{n\cdot(n+1)}{2} =\frac{(3k+2)\cdot(3k+3)}{2} =\frac{9k^2+15k+6}{2} =3\cdot\frac{3k^2+5k+2}{2}$$

prirodan broj koji pri dijeljenju s $3$ daje ostatak $0$.

Ostatak pri dijeljenju zbroja prvih $n$ prirodnih brojeva s $3$ može biti samo $0$ ili $1$ čime smo pokazali da zbroj bilo kojih prvih $n$ prirodnih brojeva ne može biti jednak zbroju kvadrata triju uzastopnih prirodnih brojeva.

Napomena: Zbroj kvadrata triju uzastopnih prirodnih brojeva možemo, za neki prirodni broj $m$, zapisati i ovako:

$$\begin{aligned} m^2+(m+1)^2+(m+2)^2 &=m^2+m^2+2m+1+m^2+4m+4\\ &=3m^2+6m+5\\ &=3(m^2+2m+1)+2. \end{aligned}$$

Daljnji postupak se nastavlja na prethodno opisani način.