2. Zadatak

Prvo rješenje.

Skica:

Veličina unutarnjeg kuta pravilnog šesterokuta iznosi $120^\circ$.

Trokut $DEF$ je jednakokračan, pa je $|\angle DFE|=|\angle EDF|=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ$.

Trokut $DFG$ je pravokutan jer je

$$|\angle FDC|=|\angle EDC|-|\angle EDF|=120^\circ-30^\circ=90^\circ.$$

Kutovi $\angle GBC$ i $\angle BCG$ vanjski su kutovi pravilnog šesterokuta, tj. $|\angle GBC|=|\angle BCG|=180^\circ-120^\circ=60^\circ$, pa je trokut $BGC$ jednakostraničan.

Stoga je $|DG|=|DC|+|CG|=16$.

Visina $\overline{EH}$ dijeli trokut $DEF$ na dva sukladna trokuta koji predstavljaju polovicu jednakostraničnog trokuta stranice duljine $8$, pa je duljina dužine $DF$ jednaka dvostrukoj duljini visine tog jednakostraničnog trokuta, tj.

$$|DF|=2\cdot|DH|=2\cdot\frac{8\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}.$$

Površina trokuta $DFG$ je $\frac{|DG|\cdot|DF|}{2}=\frac{16\cdot8\sqrt{3}}{2}=64\sqrt{3}$.

Drugo rješenje.

Skica:

Veličina unutarnjeg kuta pravilnog šesterokuta iznosi $120^\circ$.

Kutovi $\angle GBC$ i $\angle BCG$ vanjski su kutovi pravilnog šesterokuta tj. $|\angle GBC|=|\angle BCG|=180^\circ-120^\circ=60^\circ$ pa je trokut $BGC$ jednakostraničan.

Površinu trokuta $DFG$ ćemo izračunati tako da od površine peterokuta $AGDEF$, koja je jednaka zbroju površina pravilnog šesterokuta $ABCDEF$ i jednakostraničnog trokuta $BGC$, oduzmemo zbroj površina trokuta $DEF$ i $AGF$, tj.

$$P_{DFG}=P_{ABCDEF}+P_{BGC}-P_{DEF}-P_{AGF}=6\cdot\frac{8^2\sqrt{3}}{4}+\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=112\sqrt{3}-P_{DEF}-P_{AGF}.$$

Trokut $DEF$ je jednakokračan, pa je $|\angle DFE|=|\angle EDF|=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ$.

Visina $\overline{EH}$ dijeli trokut $DEF$ na dva sukladna trokuta koji predstavljaju polovicu jednakostraničnog trokuta stranice duljine $8$, pa je $P_{DEF}=16\sqrt{3}$.

Dužina $\overline{FI}$ visina je trokuta $AGF$ povučena iz vrha $F$.

Kako je $|FI|$ duljina visine jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine $8$ ona iznosi $\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$.

Površina trokuta $AGF$ je $\frac{|AG|\cdot|FI|}{2}=\frac{(|AB|+|BG|)\cdot|FI|}{2}=\frac{(8+8)\cdot4\sqrt{3}}{2}=32\sqrt{3}$.

Površina trokuta $DFG$ je $112\sqrt{3}-16\sqrt{3}-32\sqrt{3}=64\sqrt{3}$.