4. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je točka $E$ polovište stranice $\overline{AB}$ tj. središte polukružnice koja je nacrtana nad stranicom $\overline{AB}$, izvan trokuta, a točka $F$ sjecište pravca $CD$ i stranice $\overline{AB}$.

Skica:

Uočimo da je $|EB|=|ED|=9$.

Točka $D$ dijeli kružnicu u omjeru $2:1$ pa je $|\angle DEB|=60^\circ$.

Zaključujemo da je trokut $EDB$ jednakostraničan. S obzirom da su kutovi $\angle CFA$ i $\angle DFB$ vršni kutovi i $|\angle FAC|=|\angle FBD|=60^\circ$ prema KK poučku o sličnosti trokuta zaključujemo je $\triangle AFC\sim\triangle BFD$.

Stoga je

$$\frac{|AF|}{|FB|}=\frac{|AC|}{|BD|}=\frac{18}{9}=2.$$

Vrijedi $|AB|=|AF|+|FB|=3|FB|$, iz čega zaključujemo $18=3|FB|$, tj. $|FB|=6$.

Slijedi $|EF|=|EB|-|FB|=9-6=3$.

Trokut $EFC$ je pravokutan trokut kojemu su katete duljina $|EF|$ i $|CE|$.

Dužina $\overline{CE}$ je visina jednakostraničnog trokuta $ABC$ pa je $|CE|=\frac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$.

Prema Pitagorinom poučku za pravokutni trokut $EFC$ imamo:

$$|CF|^2=|EF|^2+|CE|^2$$ $$|CF|=\sqrt{3^2+(9\sqrt{3})^2}=\sqrt{252}=6\sqrt{7}.$$

Udaljenost točke $C$ i sjecišta pravca $DC$ sa stranicom $\overline{AB}$ je $6\sqrt{7}$.

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju dokazujemo $\triangle AFC\sim\triangle BFD$.

Iz $\triangle AFC\sim\triangle BFD$ zaključujemo da je $\frac{|CF|}{|DF|}=\frac{18}{9}=2$.

Vrijedi:

$$\begin{aligned} |CF|&=|CD|-|DF|\\ |CF|&=|CD|-\frac{1}{2}|CF|\\ |CF|&=\frac{2}{3}|CD|. \end{aligned}$$

Trokut $ADB$ je pravokutni trokut s pravim kutom u vrhu $D$, jer je obodni kut nad promjerom kružnice pravi, pa prema Pitagorinom poučku imamo:

$$|AD|^2=|AB|^2-|BD|^2$$ $$|AD|=\sqrt{18^2-9^2}=9\sqrt{3}.$$

Trokut $ADC$ je pravokutni trokut jer je $|\angle DAC|=|\angle DAE|+|\angle EAC|=30^\circ+60^\circ=90^\circ$ pa prema Pitagorinom poučku imamo:

$$|CD|^2=|AD|^2+|AC|^2$$ $$|CD|=\sqrt{18^2+(9\sqrt{3})^2}=9\sqrt{7}.$$

Iz $|CF|=\frac{2}{3}|CD|$ slijedi $|CF|=6\sqrt{7}$.

Udaljenost točke $C$ i sjecišta pravca $DC$ sa stranicom $\overline{AB}$ je $6\sqrt{7}$.