5. Zadatak

Prvo rješenje.

Zbrajanjem prve i treće jednadžbe dobivamo $x(y+z)=-2x$, odnosno

$$x(y+z+2)=0.$$

Analogno dobivamo

$$y(z+x+2)=0,\qquad\text{i}\qquad z(x+y+2)=0.$$

Ako je $x=0$, tada iz prve polazne jednadžbe vidimo da je $y=z$.

Uvrštavanjem u drugu polaznu jednadžbu dobivamo $y^2=-2y$,

pa je $y=z=0$ ili $y=z=-2$.

Analogno zaključujemo ako je $y=0$ ili $z=0$.

Stoga, ako je barem jedan od $x$, $y$, $z$ jednak $0$, rješenja su

$$(x,y,z)\in\{(0,0,0),(-2,-2,0),(-2,0,-2),(0,-2,-2)\}.$$

Inače, ako niti jedan od $x$, $y$ i $z$ nije $0$, onda dobivamo sustav

$$\begin{aligned} y+z+2&=0,\\ z+x+2&=0,\\ x+y+2&=0, \end{aligned}$$

čije je jedino rješenje $(x,y,z)=(-1,-1,-1)$.

Drugo rješenje.

Iz $xy=z-x-y$ slijedi

$$\begin{aligned} xy+x+y&=z\\ xy+x+y+1&=z+1\\ (x+1)(y+1)&=z+1. \end{aligned}$$

Analogno, dobivamo

$$(y+1)(z+1)=x+1\qquad\text{i}\qquad(z+1)(x+1)=y+1.$$

Množenjem dobivenih jednadžbi dobivamo

$$(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2=(x+1)(y+1)(z+1).$$

Zaključujemo da vrijedi

$$(x+1)(y+1)(z+1)=0\qquad\text{ili}\qquad(x+1)(y+1)(z+1)=1.$$

Prvi slučaj.

Iz $(x+1)(y+1)(z+1)=0$ slijedi $x=-1$ ili $y=-1$ ili $z=-1$.

Ako je $x=-1$, iz $(x+1)(y+1)=z+1$ slijedi $z=-1$.

Tada iz $(z+1)(x+1)=y+1$ slijedi $y=-1$.

Slično dobivamo za pretpostavke $y=-1$ ili $z=-1$, pa je u ovom slučaju jedino rješenje $(x,y,z)=(-1,-1,-1)$.

Drugi slučaj.

Iz $(x+1)(y+1)(z+1)=1$ i $(x+1)(y+1)=z+1$ slijedi $(z+1)(z+1)=1$, tj. $(z+1)^2=1$.

Stoga je $z+1=1$ ili $z+1=-1$, odnosno $z=0$ ili $z=-2$.

Za $z=0$, iz $(z+1)(x+1)=y+1$ dobivamo $x=y$.

Tada iz $(x+1)(y+1)=z+1$ slijedi $x=y=0$ ili $x=y=-2$.

Za $z=-2$, iz $(z+1)(x+1)=y+1$ dobivamo $x+y+2=0$.

Tada iz $(x+1)(y+1)=z+1$ slijedi $xy=0$, tj. $x=0$ ili $y=0$.

Jedine trojke $(x,y,z)$ koje zadovoljavaju uvjet $(x+1)(y+1)(z+1)=1$ su $(0,0,0)$, $(0,-2,-2)$, $(-2,0,-2)$, $(-2,-2,0)$.

Treće rješenje.

Kao u prethodnom rješenju dobivamo $(x+1)(y+1)=z+1$, $(y+1)(z+1)=x+1$ i $(z+1)(x+1)=y+1$.

Množenjem prve jednadžbe sa $z+1$, druge s $x+1$, a treće s $y+1$, dobivamo

$$(x+1)(y+1)(z+1)=(x+1)^2=(y+1)^2=(z+1)^2.$$

Slijedi da je $|x+1|=|y+1|=|z+1|$.

Također, kao u prethodnom rješenju dobivamo da izraz $(x+1)(y+1)(z+1)$ ima vrijednost $0$ ili $1$.

Iz $(x+1)(y+1)(z+1)=0$ i $|x+1|=|y+1|=|z+1|$ slijedi $x=y=z=-1$.

Iz $(x+1)(y+1)(z+1)=1$ i $|x+1|=|y+1|=|z+1|$ slijedi $|x+1|=|y+1|=|z+1|=1$.

Dakle, za svaki od brojeva $x$, $y$ i $z$ vrijedi da su jednaki $0$ ili $-2$.

Zbog uvjeta $(x+1)(y+1)(z+1)=1$ ili je jedna zagrada pozitivna i dvije negativne ili su sve tri pozitivne, pa jedine trojke $(x,y,z)$ koje zadovoljavaju uvjet su $(0,0,0)$, $(0,-2,-2)$, $(-2,0,-2)$, $(-2,-2,0)$.