4. Zadatak

Prvo rješenje.

Na raspolaganju su $3$ crvene stolice i $4$ stolice ostalih boja, ukupno $7$ stolica.

Označimo crvene stolice slovom C, a ostale stolice slovom X.

Ispišimo kako se crvene stolice mogu rasporediti u odnosu na ostale stolice.

Prvo ispisujemo sve mogućnosti u kojima su prva i treća stolica u nizu crvene.

To su: CXCXCXX, CXCXXCX, CXCXXXC

Nakon toga ispisujemo ostale mogućnosti u kojima je prva stolica crvena.

To su: CXXCXCX, CXXCXXC, CXXXCXC

Konačno ispisujemo mogućnosti u kojima prva stolica nije crvena.

To su: XCXCXCX, XCXXCXC, XCXCXXC, XXCXCXC

Ukupno ima $10$ rasporeda.

Međusobnom zamjenom crvenih stolica (C) unutar bilo kojeg od ovih rasporeda nećemo dobiti novi raspored jer su crvene stolice iste. Međutim, zamjenom bilo koje dvije od ostalih stolica (X) dobit ćemo novi raspored jer su te stolice sve međusobno različite.

Stolice bijele, plave, zelene i smeđe boje mogu se rasporediti na $4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ načina.

Ukupno, broj traženih rasporeda stolica iznosi $10\cdot24=240$.

Napomena. Moguće je razmišljati i u obrnutom smjeru. Prvo rasporedimo necrvene stolice na $24$ načina, pa nakon toga pokažemo da se crvene stolice mogu rasporediti na $10$ načina. Zaista, četiri necrvene stolice određuju pet praznina (prije prve stolice, nakon prve stolice, nakon druge stolice, nakon treće stolice i nakon četiri stolice) od kojih trebamo odabrati tri u koje stavljamo crvene stolice. Dovoljno je odabrati dvije od tih pet praznina u koje nećemo staviti crvene stolice, a to možemo na

$$\frac{5\cdot4}{2}=10$$

načina.

Drugo rješenje.

Na raspolaganju imamo $3$ crvene i po jednu bijelu, plavu, zelenu i smeđu stolicu.

Označimo ih C, C, C, B, P, Z, S.

Sedam različitih stolica možemo rasporediti na $7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$ načina.

No, kako su tri crvene stolice iste, taj broj treba umanjiti onoliko puta na koliko se načina mogu ispremještati tri crvene stolice, a to je $3\cdot2\cdot1$.

Dakle, broj svih rasporeda stolica je

$$\frac{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1}=840.$$

Od tog broja treba oduzeti broj rasporeda u kojima se crvene stolice nalaze jedna do druge. Prebrojimo te rasporede.

Prvo prebrojimo koliko ima rasporeda u kojima su sve tri crvene stolice zajedno, odnosno broj rasporeda niza (CCC), B, P, Z, S. Ima ih $5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$.

Prebrojimo sada koliko ima rasporeda u kojima su dvije crvene stolice zajedno, a treća nije kraj njih. Neka je (CC) par crvenih stolica koje u rasporedu stoje zajedno. Treba rasporediti niz (CC), C, B, P, Z, S tako da (CC) i C ne budu zajedno.

Broj rasporeda tog niza je $6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720$.

Međutim, ovdje smo dvaput prebrojali one rasporede u kojima su sve tri crvene stolice zajedno (kao (CC)C i C(CC)), pa taj broj moramo oduzeti.

Dakle, broj rasporeda u kojima se točno dvije crvene stolice nalaze jedna do druge je

$$720-2\cdot120=480.$$

Konačno, broj različitih rasporeda stolica koji su u skladu s uvjetom zadatka je

$$840-120-480=240.$$