3. Zadatak

U paralelogramu se dijagonale raspolavljaju, pa je $|AO|=|OC|$ i $|BO|=|OD|$.

Točke $P$ i $R$ su osnosimetrične slike točke $O$ obzirom na pravce $AB$ i $CD$, pa je $PO\perp AB$ i $OR\perp CD$.

Kako su $AB$ i $CD$ usporedni pravci, slijedi da točke $P$, $O$ i $R$ pripadaju istom pravcu.

Slično zaključujemo da je $O\in QS$, a pravac $QS$ je okomit na pravce $BC$ i $DA$.

Neka je $E$ presjek pravca $PR$ s pravcem $AB$ i $G$ presjek pravca $PR$ s pravcem $CD$.

Promotrimo trokute $BOE$ i $DOG$. Vrijedi:

• $|\angle BEO|=|\angle DGO|=90^\circ$,
• $|BO|=|OD|$,
• $|\angle EOB|=|\angle GOD|$ jer su to vršni kutovi.

Stoga su trokuti $BOE$ i $DOG$ sukladni prema poučku K-S-K.

Iz sukladnosti trokuta slijedi $|EO|=|OG|$.

Zbog osne simetrije slijedi $|PO|=2|EO|=2|OG|=|OR|$, tj. točka $O$ je polovište dužine $\overline{PR}$.

Neka je $F$ presjek pravca $QS$ s pravcem $BC$ i $H$ presjek pravca $QS$ s pravcem $DA$.

Slično kao gore zaključujemo da su trokuti $BFO$ i $DHO$ također međusobno sukladni i vrijedi $|FO|=|OH|$.

Slijedi $|QO|=|OS|$, tj. točka $O$ je polovište dužine $\overline{QS}$.

Dakle, dijagonale $\overline{PR}$ i $\overline{QS}$ četverokuta $PQRS$ se raspolavljaju, pa je taj četverokut paralelogram.