4. Zadatak

Prvi način:

(p_{\triangle ACD}=p_{\triangle ACT}) jer ta dva trokuta imaju zajedničku stranicu (\overline{AC}) i jednake duljine visina na tu stranicu.

Kako je (p_{\triangle ACD}=p_{\triangle ACP}+p_{\triangle PCD}) i (p_{\triangle ACT}=p_{\triangle ACP}+p_{\triangle APT}) slijedi da je (p_{\triangle APT}=p_{\triangle PCD}).

Vrijedi (|DP|=\frac{2}{5}|DA|), a duljina visine na stranicu (\overline{DP}) u trokutu PCD jednaka je duljini visine na stranicu (\overline{DA}) u trokutu ACD.

Zbog toga je

$$p_{\triangle PCD}=\frac{2}{5}p_{\triangle ACD}.$$

S obzirom da dijagonala dijeli romb na dva sukladna trokuta,

$$p_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}p_{ABCD},$$

pa je

$$p_{\triangle PCD}=\frac{2}{5}p_{\triangle ACD}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}p_{ABCD}=\frac{1}{5}p_{ABCD},$$

što znači da je i (p_{\triangle APT}=\frac{1}{5}p_{ABCD}).

Dakle,

$$p_{\triangle APT}:p_{ABCD}=1:5.$$

Napomena: Dokazati da je (p_{\triangle PCD}=\frac{2}{5}p_{\triangle ACD}) može se i ovako:

Označimo s (N_1) i (N_2) nožišta visina iz vrhova P i D u trokutima (\triangle ACP) i (\triangle ACD).

Trokut (\triangle AN_1P) sličan je trokutu (\triangle AN_2D) po KK-poučku (zajednički kut kod vrha A i jedan pravi kut).

Kako je (|AP|=\frac{3}{5}|AD|), zbog sličnosti trokuta će biti (|N_1P|=\frac{3}{5}|N_2D|), pa je i površina (p_{\triangle ACP}=\frac{3}{5}p_{\triangle ACD}) (imaju zajedničku stranicu).

Dakle,

$$p_{\triangle PCD}=\frac{2}{5}p_{\triangle ACD}.$$

Drugi način:

Zbog (|AP|:|PD|=3:2) vrijedi (|PD|=\frac{2}{3}|AP|), a duljina visine na stranicu (\overline{PD}) u trokutu PDT jednaka je duljini visine na stranicu (\overline{AP}) u trokutu APT.

Zbog toga je

$$p_{\triangle PDT}=\frac{2}{3}p_{\triangle APT}.$$

Trokuti ACP i DPT su slični jer su im kutovi iste veličine (dva vršna kuta, odnosno šiljasti kutovi uz presječnicu).

Zbog (|AP|:|PD|=3:2) vrijedi (p_{\triangle ACP}:p_{\triangle DPT}=9:4), odnosno (p_{\triangle ACP}=\frac{9}{4}p_{\triangle DPT}).

Tada je

$$p_{\triangle ACP}=\frac{9}{4}\cdot\frac{2}{3}p_{\triangle APT}=\frac{3}{2}p_{\triangle APT}.$$

Zbog (|AP|:|PD|=3:2) vrijedi (|PD|=\frac{2}{3}|AP|), a duljina visine na stranicu (\overline{PD}) u trokutu PDC jednaka je duljini visine na stranicu (\overline{AP}) u trokutu APC.

Zbog toga je

$$p_{\triangle PDC}=\frac{2}{3}p_{\triangle APC}.$$

Tada je

$$p_{\triangle PDC}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}p_{\triangle APT}=p_{\triangle APT}.$$

Dijagonala (\overline{AC}) dijeli romb na dva jednaka dijela, pa je površina romba

$$p_{ABCD}=2\left(p_{\triangle APC}+p_{\triangle PCD}\right)=2\left(\frac{3}{2}p_{\triangle PDC}+p_{\triangle PDC}\right)=5p_{\triangle PDC}=5p_{\triangle APT}.$$

Dakle,

$$p_{\triangle APT}:p_{ABCD}=1:5.$$