4. Zadatak

Prvi način:

$p_{\triangle ACD}=p_{\triangle ACT}$ jer ta dva trokuta imaju zajedničku stranicu $\overline{AC}$ i jednake duljine visina na tu stranicu.

Kako je $p_{\triangle ACD}=p_{\triangle ACP}+p_{\triangle PCD}$ i $p_{\triangle ACT}=p_{\triangle ACP}+p_{\triangle APT}$ slijedi da je $p_{\triangle APT}=p_{\triangle PCD}$.

Vrijedi $|DP|=\frac{2}{5}|DA|$, a duljina visine na stranicu $\overline{DP}$ u trokutu PCD jednaka je duljini visine na stranicu $\overline{DA}$ u trokutu ACD.

Zbog toga je

$$p_{\triangle PCD}=\frac{2}{5}p_{\triangle ACD}.$$

S obzirom da dijagonala dijeli romb na dva sukladna trokuta,

$$p_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}p_{ABCD},$$

pa je

$$p_{\triangle PCD}=\frac{2}{5}p_{\triangle ACD}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}p_{ABCD}=\frac{1}{5}p_{ABCD},$$

što znači da je i $p_{\triangle APT}=\frac{1}{5}p_{ABCD}$.

Dakle,

$$p_{\triangle APT}:p_{ABCD}=1:5.$$

Napomena: Dokazati da je $p_{\triangle PCD}=\frac{2}{5}p_{\triangle ACD}$ može se i ovako:

Označimo s $N_1$ i $N_2$ nožišta visina iz vrhova P i D u trokutima $\triangle ACP$ i $\triangle ACD$.

Trokut $\triangle AN_1P$ sličan je trokutu $\triangle AN_2D$ po KK-poučku (zajednički kut kod vrha A i jedan pravi kut).

Kako je $|AP|=\frac{3}{5}|AD|$, zbog sličnosti trokuta će biti $|N_1P|=\frac{3}{5}|N_2D|$, pa je i površina $p_{\triangle ACP}=\frac{3}{5}p_{\triangle ACD}$ (imaju zajedničku stranicu).

Dakle,

$$p_{\triangle PCD}=\frac{2}{5}p_{\triangle ACD}.$$

Drugi način:

Zbog $|AP|:|PD|=3:2$ vrijedi $|PD|=\frac{2}{3}|AP|$, a duljina visine na stranicu $\overline{PD}$ u trokutu PDT jednaka je duljini visine na stranicu $\overline{AP}$ u trokutu APT.

Zbog toga je

$$p_{\triangle PDT}=\frac{2}{3}p_{\triangle APT}.$$

Trokuti ACP i DPT su slični jer su im kutovi iste veličine (dva vršna kuta, odnosno šiljasti kutovi uz presječnicu).

Zbog $|AP|:|PD|=3:2$ vrijedi $p_{\triangle ACP}:p_{\triangle DPT}=9:4$, odnosno $p_{\triangle ACP}=\frac{9}{4}p_{\triangle DPT}$.

Tada je

$$p_{\triangle ACP}=\frac{9}{4}\cdot\frac{2}{3}p_{\triangle APT}=\frac{3}{2}p_{\triangle APT}.$$

Zbog $|AP|:|PD|=3:2$ vrijedi $|PD|=\frac{2}{3}|AP|$, a duljina visine na stranicu $\overline{PD}$ u trokutu PDC jednaka je duljini visine na stranicu $\overline{AP}$ u trokutu APC.

Zbog toga je

$$p_{\triangle PDC}=\frac{2}{3}p_{\triangle APC}.$$

Tada je

$$p_{\triangle PDC}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}p_{\triangle APT}=p_{\triangle APT}.$$

Dijagonala $\overline{AC}$ dijeli romb na dva jednaka dijela, pa je površina romba

$$p_{ABCD}=2\left(p_{\triangle APC}+p_{\triangle PCD}\right)=2\left(\frac{3}{2}p_{\triangle PDC}+p_{\triangle PDC}\right)=5p_{\triangle PDC}=5p_{\triangle APT}.$$

Dakle,

$$p_{\triangle APT}:p_{ABCD}=1:5.$$