5. Zadatak

Prvi način: Uvedimo oznake Aninih i Ivanovih godina kao u tablici.

	Ana	Ivan
Prije	$y$	$x$
Sada	$1.2x$	$y$
Poslije	$150-1.2x$	$1.2x$

Razlika godina između sada i prije jednaka je kod Ane i kod Ivana pa vrijedi:

$$1.2x-y=y-x,$$

iz čega je $y=1.1x$.

Razlika godina između poslije i sada jednaka je kod Ane i kod Ivana pa vrijedi:

$$150-1.2x-1.2x=1.2x-y$$ $$y=3.6x-150.$$

Zato je:

$$3.6x-150=1.1x,$$

iz čega je $x=60$.

Onda je $1.2x=1.2\cdot60=72$.

$y=1.1\cdot60=66$.

Ana ima 72, a Ivan 66 godina.

Drugi način: Iz teksta se može zaključiti da je Ana starija od Ivana.

Neka Ivan sada ima $x$ godina, a Ana $x+y$ godina (Ana je starija za $y$ godina).

Ana je imala godina kao Ivan sada ($x$) prije $y$ godina. Ivan je tada imao $x-y$ godina.

Prvi uvjet zadatka daje jednadžbu:

$$1.2\cdot(x-y)=x+y,$$

iz čega se sređivanjem dobije:

$$x=11y.$$

Ako Ivan sada ima $x$ godina, a Ana $x+y$ godina, Ivan će za $y$ godina imati godina kao Ana sada.

Ivan će tada imati $x+y$ godina, a Ana će imati $x+2y$ godina.

Iz drugog uvjeta zadatka slijedi:

$$x+y+x+2y=150,$$

tj.

$$2x+3y=150.$$

Uvrštavanjem $x=11y$ dobije se:

$$22y+3y=150,$$

pa je $y=6$.

Tada je $x=11\cdot6=66$, a $x+y=66+6=72$.

Ivan ima 66 godina, a Ana 72 godine.

Treći način: Označimo s A Anine, a s I Ivanove trenutne godine.

Neka je Ana imala godina koliko Ivan sada prije $x$ godina.

Vrijedi $A-x=I$, tj. $x=A-I$.

Ivan je tada imao $I-x$ godina, pa vrijedi

$$A=1.2\cdot(I-x).$$

Uvrštavanjem nepoznanice $x$ iz prve u drugu jednadžbu dobije se:

$$A=1.2\cdot(I-A+I),$$

iz čega je $11A=12I$.

Za $y$ godina Ivan će imati godina koliko Ana sada. Vrijedi $I+y=A$, tj. $y=A-I$.

Ana će tada imati $A+y$ godina, a zajedno će imati 150 godina. Vrijedi:

$$I+y+A+y=150,$$

tj. $I+A+2y=150$.

Uvrštavanjem nepoznanice $y$ u drugu jednadžbu dobije se:

$$I+A+2A-2I=150,$$ $$3A-I=150.$$

Rješavanjem sustava jednadžbi $11A=12I$ i $3A-I=150$ dobije se:

$$I=3A-150,$$ $$11A=36A-1800,$$ $$25A=1800,$$ $$A=72.$$

Onda je $I=3\cdot72-150=66$.

Ana ima 72 godine, a Ivan 66 godina.