5. Zadatak

Prvi način: Uvedimo oznake Aninih i Ivanovih godina kao u tablici.

	Ana	Ivan
Prije	(y)	(x)
Sada	(1.2x)	(y)
Poslije	(150-1.2x)	(1.2x)

Razlika godina između sada i prije jednaka je kod Ane i kod Ivana pa vrijedi:

$$1.2x-y=y-x,$$

iz čega je (y=1.1x).

Razlika godina između poslije i sada jednaka je kod Ane i kod Ivana pa vrijedi:

$$150-1.2x-1.2x=1.2x-y$$

[ y=3.6x-150. ]

Zato je:

$$3.6x-150=1.1x,$$

iz čega je (x=60).

Onda je (1.2x=1.2\cdot60=72).

(y=1.1\cdot60=66).

Ana ima 72, a Ivan 66 godina.

Drugi način: Iz teksta se može zaključiti da je Ana starija od Ivana.

Neka Ivan sada ima (x) godina, a Ana (x+y) godina (Ana je starija za (y) godina).

Ana je imala godina kao Ivan sada ((x)) prije (y) godina. Ivan je tada imao (x-y) godina.

Prvi uvjet zadatka daje jednadžbu:

$$1.2\cdot(x-y)=x+y,$$

iz čega se sređivanjem dobije:

$$x=11y.$$

Ako Ivan sada ima (x) godina, a Ana (x+y) godina, Ivan će za (y) godina imati godina kao Ana sada.

Ivan će tada imati (x+y) godina, a Ana će imati (x+2y) godina.

Iz drugog uvjeta zadatka slijedi:

$$x+y+x+2y=150,$$

tj.

$$2x+3y=150.$$

Uvrštavanjem (x=11y) dobije se:

$$22y+3y=150,$$

pa je (y=6).

Tada je (x=11\cdot6=66), a (x+y=66+6=72).

Ivan ima 66 godina, a Ana 72 godine.

Treći način: Označimo s A Anine, a s I Ivanove trenutne godine.

Neka je Ana imala godina koliko Ivan sada prije (x) godina.

Vrijedi (A-x=I), tj. (x=A-I).

Ivan je tada imao (I-x) godina, pa vrijedi

$$A=1.2\cdot(I-x).$$

Uvrštavanjem nepoznanice (x) iz prve u drugu jednadžbu dobije se:

$$A=1.2\cdot(I-A+I),$$

iz čega je (11A=12I).

Za (y) godina Ivan će imati godina koliko Ana sada. Vrijedi (I+y=A), tj. (y=A-I).

Ana će tada imati (A+y) godina, a zajedno će imati 150 godina. Vrijedi:

$$I+y+A+y=150,$$

tj. (I+A+2y=150).

Uvrštavanjem nepoznanice (y) u drugu jednadžbu dobije se:

$$I+A+2A-2I=150,$$

[ 3A-I=150. ]

Rješavanjem sustava jednadžbi (11A=12I) i (3A-I=150) dobije se:

$$I=3A-150,$$

[ 11A=36A-1800, ]

[ 25A=1800, ]

[ A=72. ]

Onda je (I=3\cdot72-150=66).

Ana ima 72 godine, a Ivan 66 godina.