3. Zadatak
Broj (\overline{6ababab}) je višekratnik broja 18. Ako izbrišemo prvu i zadnju znamenku tog broja, dobit ćemo peteroznamenkasti broj koji je djeljiv brojem 6. Koji brojevi zadanog oblika imaju ovo svojstvo?
Prvi način: Ako je broj (\overline{6ababab}) višekratnik broja 18, onda je on djeljiv brojevima 2 i 9.
Zbog djeljivosti broja (\overline{6ababab}) brojem 2, znamenka (b) može biti 0, 2, 4, 6 ili 8.
Zbog djeljivosti broja (\overline{6ababab}) brojem 9, zbroj njegovih znamenaka djeljiv je brojem 9, tj. (6+3a+3b=9k), (k\in\mathbb{N}).
Broj (\overline{ababa}) je prema uvjetu zadatka djeljiv brojem 6, pa je stoga djeljiv brojevima 2 i 3.
Zbog djeljivosti broja (\overline{ababa}) brojem 2, znamenka (a) može biti 2, 4, 6 ili 8. (0 ne može biti jer broj (\overline{ababa}) ne bi bio peteroznamenkast.)
Zbog djeljivosti broja (\overline{ababa}) brojem 3, zbroj njegovih znamenaka djeljiv je brojem 3, tj. (3a+2b=3l), (l\in\mathbb{N}).
Kako su pribrojnik (3a) i zbroj (3l) djeljivi brojem 3, onda i drugi pribrojnik (2b) mora biti djeljiv brojem 3. To vrijedi za (b=0,3,6) i 9.
Kako je znamenka (b) već uvjetovana djeljivošću brojem 2, znamenka (b) može biti 0 ili 6.
Uvrštavanjem broja (b) u izraz (6+3a+3b=9k) slijedi:
Za (b=0):
Za (k=1) slijedi (a=1).
Za (k=2) slijedi (a=4).
Za (k=3) slijedi (a=7).
Za (b=6):
Za (k=3) slijedi (a=1).
Za (k=4) slijedi (a=4).
Za (k=5) slijedi (a=7).
U oba slučaja, zbog uvjeta djeljivosti brojem 2, znamenka (a) može biti samo 4.
Traženi brojevi su 6 404 040 i 6 464 646.
Drugi način: Ako je broj (\overline{6ababab}) višekratnik broja 18, onda je on djeljiv brojevima 2 i 9.
Zbog djeljivosti broja (\overline{6ababab}) brojem 2, znamenka (b) može biti 0, 2, 4, 6 ili 8.
Zbog djeljivosti broja (\overline{6ababab}) brojem 9, zbroj njegovih znamenaka (6+3a+3b) mora biti djeljiv brojem 9.
Najveća vrijednost za (a) i (b) je 9, pa (6+3a+3b) može imati najveću vrijednost 60. Zbroj (6+3a+3b) može imati vrijednost: 9, 18, 27, 36, 45 i 54.
Dijeljenjem brojem 3 dobije se da je (2+a+b=3,6,9,12,15) ili 18, odnosno (a+b=1,4,7,10,13) ili 16.
Broj (\overline{ababa}) je prema uvjetu zadatka djeljiv brojem 6, pa je stoga djeljiv brojevima 2 i 3.
Zbog djeljivosti broja (\overline{ababa}) brojem 2, znamenka (a) može biti 2, 4, 6 ili 8. (0 ne može biti jer broj (\overline{ababa}) ne bi bio peteroznamenkast.)
Zbog djeljivosti broja (\overline{ababa}) brojem 3, zbroj njegovih znamenaka koji je (3a+2b) mora biti djeljiv brojem 3.
Vidjeli smo da (a) može imati vrijednost 2, 4, 6 ili 8, dok (b) može biti 0, 2, 4, 6 ili 8. Budući je zbroj dva parna broja opet parni broj, vrijednost zbroja (a+b) može biti 4, 10 ili 16. Sve moguće kombinacije prikazane su u tablici (uključujući i vrijednost izraza (3a+2b)):
| (a) | (b) | (a+b) | (3a+2b) |
|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 4 | 10 |
| 2 | 8 | 10 | 22 |
| 4 | 0 | 4 | 12 |
| 4 | 6 | 10 | 24 |
| 6 | 4 | 10 | 26 |
| 8 | 2 | 10 | 28 |
| 8 | 8 | 16 | 40 |
Od svih brojeva u zadnjem stupcu, brojem 3 su djeljivi samo 12 i 24.
Njih dobijemo za (a=4) i (b=0), odnosno (a=4) i (b=6).
Traženi brojevi su 6 404 040 i 6 464 646.
Treći način: Peteroznamenkasti broj (\overline{ababa}) je prema uvjetu zadatka djeljiv brojem 6, pa je stoga djeljiv brojevima 2 i 3.
Zbog djeljivosti broja (\overline{ababa}) brojem 2, znamenka (a) može biti 2, 4, 6 ili 8. (0 ne može biti jer broj (\overline{ababa}) ne bi bio peteroznamenkast.)
Imamo brojeve oblika (2b2b2), (4b4b4), (6b6b6) i (8b8b8).
Zbog djeljivosti broja (\overline{ababa}) brojem 3, zbroj njegovih znamenaka mora biti djeljiv brojem 3. Imamo sljedeće mogućnosti:
| (a) | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| (b) | 0, 3, 6, 9 | 0, 3, 6, 9 | 0, 3, 6, 9 | 0, 3, 6, 9 |
Ako je broj (\overline{6ababab}) višekratnik broja 18, onda je on djeljiv brojevima 2 i 9.
Zbog djeljivosti broja (\overline{6ababab}) brojem 2, znamenka (b) može biti 0, 2, 4, 6 ili 8, pa od u tablici navedenih mogućnosti za (b) ostaju (b=0) ili (b=6).
Zbog djeljivosti broja (\overline{6ababab}) brojem 9, zbroj njegovih znamenaka mora biti djeljiv brojem 9. Ispitujemo mogućnosti:
Za (a=2) i (b=0) ili 6 dobije se 6 202 020 i 6 262 626 koji nisu djeljivi brojem 9.
Za (a=4) i (b=0) ili 6 dobije se 6 404 040 i 6 464 646 koji jesu djeljivi brojem 9.
Za (a=6) i (b=0) ili 6 dobije se 6 606 060 i 6 666 666 koji nisu djeljivi brojem 9.
Za (a=8) i (b=0) ili 6 dobije se 6 808 080 i 6 868 686 koji nisu djeljivi brojem 9.
Traženi brojevi su 6 404 040 i 6 464 646.