3. Zadatak

Prvi način: Ako je broj $\overline{6ababab}$ višekratnik broja 18, onda je on djeljiv brojevima 2 i 9.

Zbog djeljivosti broja $\overline{6ababab}$ brojem 2, znamenka $b$ može biti 0, 2, 4, 6 ili 8.

Zbog djeljivosti broja $\overline{6ababab}$ brojem 9, zbroj njegovih znamenaka djeljiv je brojem 9, tj. $6+3a+3b=9k$, $k\in\mathbb{N}$.

Broj $\overline{ababa}$ je prema uvjetu zadatka djeljiv brojem 6, pa je stoga djeljiv brojevima 2 i 3.

Zbog djeljivosti broja $\overline{ababa}$ brojem 2, znamenka $a$ može biti 2, 4, 6 ili 8. (0 ne može biti jer broj $\overline{ababa}$ ne bi bio peteroznamenkast.)

Zbog djeljivosti broja $\overline{ababa}$ brojem 3, zbroj njegovih znamenaka djeljiv je brojem 3, tj. $3a+2b=3l$, $l\in\mathbb{N}$.

Kako su pribrojnik $3a$ i zbroj $3l$ djeljivi brojem 3, onda i drugi pribrojnik $2b$ mora biti djeljiv brojem 3. To vrijedi za $b=0,3,6$ i 9.

Kako je znamenka $b$ već uvjetovana djeljivošću brojem 2, znamenka $b$ može biti 0 ili 6.

Uvrštavanjem broja $b$ u izraz $6+3a+3b=9k$ slijedi:

Za $b=0$:

$$6+3a=9k.$$

Za $k=1$ slijedi $a=1$.

Za $k=2$ slijedi $a=4$.

Za $k=3$ slijedi $a=7$.

Za $b=6$:

$$24+3a=9k.$$

Za $k=3$ slijedi $a=1$.

Za $k=4$ slijedi $a=4$.

Za $k=5$ slijedi $a=7$.

U oba slučaja, zbog uvjeta djeljivosti brojem 2, znamenka $a$ može biti samo 4.

Traženi brojevi su 6 404 040 i 6 464 646.

Drugi način: Ako je broj $\overline{6ababab}$ višekratnik broja 18, onda je on djeljiv brojevima 2 i 9.

Zbog djeljivosti broja $\overline{6ababab}$ brojem 2, znamenka $b$ može biti 0, 2, 4, 6 ili 8.

Zbog djeljivosti broja $\overline{6ababab}$ brojem 9, zbroj njegovih znamenaka $6+3a+3b$ mora biti djeljiv brojem 9.

Najveća vrijednost za $a$ i $b$ je 9, pa $6+3a+3b$ može imati najveću vrijednost 60. Zbroj $6+3a+3b$ može imati vrijednost: 9, 18, 27, 36, 45 i 54.

Dijeljenjem brojem 3 dobije se da je $2+a+b=3,6,9,12,15$ ili 18, odnosno $a+b=1,4,7,10,13$ ili 16.

Broj $\overline{ababa}$ je prema uvjetu zadatka djeljiv brojem 6, pa je stoga djeljiv brojevima 2 i 3.

Zbog djeljivosti broja $\overline{ababa}$ brojem 2, znamenka $a$ može biti 2, 4, 6 ili 8. (0 ne može biti jer broj $\overline{ababa}$ ne bi bio peteroznamenkast.)

Zbog djeljivosti broja $\overline{ababa}$ brojem 3, zbroj njegovih znamenaka koji je $3a+2b$ mora biti djeljiv brojem 3.

Vidjeli smo da $a$ može imati vrijednost 2, 4, 6 ili 8, dok $b$ može biti 0, 2, 4, 6 ili 8. Budući je zbroj dva parna broja opet parni broj, vrijednost zbroja $a+b$ može biti 4, 10 ili 16. Sve moguće kombinacije prikazane su u tablici (uključujući i vrijednost izraza $3a+2b$):

$a$	$b$	$a+b$	$3a+2b$
2	2	4	10
2	8	10	22
4	0	4	12
4	6	10	24
6	4	10	26
8	2	10	28
8	8	16	40

Od svih brojeva u zadnjem stupcu, brojem 3 su djeljivi samo 12 i 24.

Njih dobijemo za $a=4$ i $b=0$, odnosno $a=4$ i $b=6$.

Traženi brojevi su 6 404 040 i 6 464 646.

Treći način: Peteroznamenkasti broj $\overline{ababa}$ je prema uvjetu zadatka djeljiv brojem 6, pa je stoga djeljiv brojevima 2 i 3.

Zbog djeljivosti broja $\overline{ababa}$ brojem 2, znamenka $a$ može biti 2, 4, 6 ili 8. (0 ne može biti jer broj $\overline{ababa}$ ne bi bio peteroznamenkast.)

Imamo brojeve oblika $2b2b2$, $4b4b4$, $6b6b6$ i $8b8b8$.

Zbog djeljivosti broja $\overline{ababa}$ brojem 3, zbroj njegovih znamenaka mora biti djeljiv brojem 3. Imamo sljedeće mogućnosti:

$a$	2	4	6	8
$b$	0, 3, 6, 9	0, 3, 6, 9	0, 3, 6, 9	0, 3, 6, 9

Ako je broj $\overline{6ababab}$ višekratnik broja 18, onda je on djeljiv brojevima 2 i 9.

Zbog djeljivosti broja $\overline{6ababab}$ brojem 2, znamenka $b$ može biti 0, 2, 4, 6 ili 8, pa od u tablici navedenih mogućnosti za $b$ ostaju $b=0$ ili $b=6$.

Zbog djeljivosti broja $\overline{6ababab}$ brojem 9, zbroj njegovih znamenaka mora biti djeljiv brojem 9. Ispitujemo mogućnosti:

Za $a=2$ i $b=0$ ili 6 dobije se 6 202 020 i 6 262 626 koji nisu djeljivi brojem 9.

Za $a=4$ i $b=0$ ili 6 dobije se 6 404 040 i 6 464 646 koji jesu djeljivi brojem 9.

Za $a=6$ i $b=0$ ili 6 dobije se 6 606 060 i 6 666 666 koji nisu djeljivi brojem 9.

Za $a=8$ i $b=0$ ili 6 dobije se 6 808 080 i 6 868 686 koji nisu djeljivi brojem 9.

Traženi brojevi su 6 404 040 i 6 464 646.