2. Zadatak

Prvi način: Neka je $\alpha$ veličina unutarnjeg, a $\alpha_1$ veličina susjednog vanjskog kuta zadanog pravilnog mnogokuta.

Iz uvjeta zadatka vrijedi da je $\alpha=9\alpha_1$ i $\alpha+\alpha_1=180^\circ$.

Slijedi da je $10\alpha_1=180^\circ$, pa je $\alpha_1=18^\circ$.

Tada je $\alpha=180^\circ-18^\circ=162^\circ$.

U pravilnom mnogokutu svi su vanjski kutovi jednakih veličina, a zbroj im je $360^\circ$.

Iz $18^\circ\cdot n=360^\circ$ izračuna se da je $n=20$, dakle riječ je o dvadeseterokutu.

Skica dijela dvadeseterokuta s traženim kutom izgleda ovako:

Vrijedi da je $\left|\angle A_1SA_2\right|=360^\circ:20=18^\circ$, pa je $\left|\angle A_1SA_3\right|=2\cdot18^\circ=36^\circ$ i $\left|\angle A_1SA_4\right|=3\cdot18^\circ=54^\circ$.

Iz jednakokračnog trokuta $A_1A_3S$ se izračuna

$$\left|\angle A_3A_1S\right|=(180^\circ-36^\circ):2=144^\circ:2=72^\circ.$$

Iz jednakokračnog trokuta $A_1A_4S$ se izračuna

$$\left|\angle A_4A_1S\right|=(180^\circ-54^\circ):2=126^\circ:2=63^\circ.$$

Nadalje, $\left|\angle A_3A_1A_4\right|=\left|\angle A_3A_1S\right|-\left|\angle A_4A_1S\right|$, pa je

$$\left|\angle A_3A_1A_4\right|=72^\circ-63^\circ=9^\circ.$$

Drugi način: Prvi dio identičan je postupku u prvom načinu uključujući i skicu.

Dalje slijedi:

Vrijedi da je $\left|\angle A_1SA_2\right|=360^\circ:20=18^\circ$, pa je $\left|\angle A_1SA_4\right|=3\cdot18^\circ=54^\circ$.

Iz jednakokračnog trokuta $A_1A_2A_3$ vrijedi da je

$$\left|\angle A_3A_1A_2\right|=(180^\circ-\alpha):2=(180^\circ-162^\circ):2=18^\circ:2=9^\circ.$$

Iz jednakokračnog trokuta $A_1A_4S$ se izračuna

$$\left|\angle A_4A_1S\right|=(180^\circ-54^\circ):2=126^\circ:2=63^\circ.$$

Nadalje,

$$\left|\angle A_3A_1A_4\right|=\frac{\alpha}{2}-\left(\left|\angle A_2A_1A_3\right|+\left|\angle A_4A_1S\right|\right),$$

pa je

$$\left|\angle A_3A_1A_4\right|=81^\circ-(9^\circ+63^\circ)=81^\circ-72^\circ=9^\circ.$$

Treći način: Ako je $\alpha$ veličina unutarnjeg kuta mnogokuta, onda je veličina njegovog vanjskog kuta $180^\circ-\alpha$.

Iz uvjeta zadatka $9\cdot(180^\circ-\alpha)=\alpha$, izračuna se $\alpha=162^\circ$.

Koristeći formulu za veličinu unutarnjeg kuta $n$-terokuta

$$\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}=162^\circ$$

izračuna se da je $n=20$.

Skica dijela dvadeseterokuta s prikazom traženog kuta izgleda ovako:

Duljine stranica i veličine kutova pravilnog mnogokuta su jednake, pa prema SKS poučku vrijedi: $\triangle A_1A_2A_3\cong\triangle A_2A_3A_4$.

Tada je $|A_1A_3|=|A_2A_4|$.

Onda je, prema SSS poučku: $\triangle A_1A_3A_4\cong\triangle A_4A_2A_1$.

Zbog toga vrijedi $\left|\angle A_3A_4A_1\right|=\left|\angle A_2A_1A_4\right|$.

Zbroj veličina kutova svakog četverokuta je $360^\circ$, a u četverokutu $A_1A_2A_3A_4$ dva kuta imaju po $162^\circ$, dok su druga dva jednakih veličina.

Onda je:

$$\left|\angle A_2A_1A_4\right|=(360^\circ-2\cdot162^\circ):2=18^\circ.$$

U jednakokračnom trokutu $A_1A_2A_3$ je:

$$\left|\angle A_2A_1A_3\right|=(180^\circ-162^\circ):2=9^\circ.$$

Konačno je

$$\left|\angle A_3A_1A_4\right|=\left|\angle A_2A_1A_4\right|-\left|\angle A_2A_1A_3\right|=18^\circ-9^\circ=9^\circ.$$