2. Zadatak

Prvi način: Neka je (\alpha) veličina unutarnjeg, a (\alpha_1) veličina susjednog vanjskog kuta zadanog pravilnog mnogokuta.

Iz uvjeta zadatka vrijedi da je (\alpha=9\alpha_1) i (\alpha+\alpha_1=180^\circ).

Slijedi da je (10\alpha_1=180^\circ), pa je (\alpha_1=18^\circ).

Tada je (\alpha=180^\circ-18^\circ=162^\circ).

U pravilnom mnogokutu svi su vanjski kutovi jednakih veličina, a zbroj im je (360^\circ).

Iz (18^\circ\cdot n=360^\circ) izračuna se da je (n=20), dakle riječ je o dvadeseterokutu.

Skica dijela dvadeseterokuta s traženim kutom izgleda ovako:

Vrijedi da je (\left|\angle A_1SA_2\right|=360^\circ:20=18^\circ), pa je (\left|\angle A_1SA_3\right|=2\cdot18^\circ=36^\circ) i (\left|\angle A_1SA_4\right|=3\cdot18^\circ=54^\circ).

Iz jednakokračnog trokuta (A_1A_3S) se izračuna

$$\left|\angle A_3A_1S\right|=(180^\circ-36^\circ):2=144^\circ:2=72^\circ.$$

Iz jednakokračnog trokuta (A_1A_4S) se izračuna

$$\left|\angle A_4A_1S\right|=(180^\circ-54^\circ):2=126^\circ:2=63^\circ.$$

Nadalje, (\left|\angle A_3A_1A_4\right|=\left|\angle A_3A_1S\right|-\left|\angle A_4A_1S\right|), pa je

$$\left|\angle A_3A_1A_4\right|=72^\circ-63^\circ=9^\circ.$$

Drugi način: Prvi dio identičan je postupku u prvom načinu uključujući i skicu.

Dalje slijedi:

Vrijedi da je (\left|\angle A_1SA_2\right|=360^\circ:20=18^\circ), pa je (\left|\angle A_1SA_4\right|=3\cdot18^\circ=54^\circ).

Iz jednakokračnog trokuta (A_1A_2A_3) vrijedi da je

$$\left|\angle A_3A_1A_2\right|=(180^\circ-\alpha):2=(180^\circ-162^\circ):2=18^\circ:2=9^\circ.$$

Iz jednakokračnog trokuta (A_1A_4S) se izračuna

$$\left|\angle A_4A_1S\right|=(180^\circ-54^\circ):2=126^\circ:2=63^\circ.$$

Nadalje,

$$\left|\angle A_3A_1A_4\right|=\frac{\alpha}{2}-\left(\left|\angle A_2A_1A_3\right|+\left|\angle A_4A_1S\right|\right),$$

pa je

$$\left|\angle A_3A_1A_4\right|=81^\circ-(9^\circ+63^\circ)=81^\circ-72^\circ=9^\circ.$$

Treći način: Ako je (\alpha) veličina unutarnjeg kuta mnogokuta, onda je veličina njegovog vanjskog kuta (180^\circ-\alpha).

Iz uvjeta zadatka (9\cdot(180^\circ-\alpha)=\alpha), izračuna se (\alpha=162^\circ).

Koristeći formulu za veličinu unutarnjeg kuta (n)-terokuta

$$\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}=162^\circ$$

izračuna se da je (n=20).

Skica dijela dvadeseterokuta s prikazom traženog kuta izgleda ovako:

Duljine stranica i veličine kutova pravilnog mnogokuta su jednake, pa prema SKS poučku vrijedi: (\triangle A_1A_2A_3\cong\triangle A_2A_3A_4).

Tada je (|A_1A_3|=|A_2A_4|).

Onda je, prema SSS poučku: (\triangle A_1A_3A_4\cong\triangle A_4A_2A_1).

Zbog toga vrijedi (\left|\angle A_3A_4A_1\right|=\left|\angle A_2A_1A_4\right|).

Zbroj veličina kutova svakog četverokuta je (360^\circ), a u četverokutu (A_1A_2A_3A_4) dva kuta imaju po (162^\circ), dok su druga dva jednakih veličina.

Onda je:

$$\left|\angle A_2A_1A_4\right|=(360^\circ-2\cdot162^\circ):2=18^\circ.$$

U jednakokračnom trokutu (A_1A_2A_3) je:

$$\left|\angle A_2A_1A_3\right|=(180^\circ-162^\circ):2=9^\circ.$$

Konačno je

$$\left|\angle A_3A_1A_4\right|=\left|\angle A_2A_1A_4\right|-\left|\angle A_2A_1A_3\right|=18^\circ-9^\circ=9^\circ.$$