7. Zadatak

Prvo rješenje.

Posebno ćemo odrediti broj načina rasporeda tri slova $A$ na neko od $7$ mjesta te broj načina rasporeda preostalih slova $N,G,R,M$ na preostala $4$ mjesta. Zatim ćemo te brojeve pomnožiti.

Odredimo broj načina rasporeda tri slova $A$.

Ako se prvo slovo $A$ nalazi na prvom mjestu, onda se drugo slovo $A$ može nalaziti na:

• trećem, a treće slovo $A$ na petom, šestom ili sedmom mjestu ($3$ načina)
• četvrtom, a treće slovo $A$ na šestom ili sedmom mjestu ($2$ načina)
• petom, a treće slovo $A$ na sedmom mjestu ($1$ način)

Ako se prvo slovo $A$ nalazi na drugom mjestu, onda se drugo slovo $A$ može nalaziti na:

• četvrtom, a treće slovo $A$ na šestom ili sedmom mjestu ($2$ načina)
• petom, a treće slovo $A$ na sedmom mjestu ($1$ način)

Ako se prvo slovo $A$ nalazi na trećem mjestu, onda se drugo slovo $A$ može nalaziti na:

• petom, a treće slovo $A$ na sedmom mjestu ($1$ način)

Imamo ukupno $10$ takvih načina rasporeda tri slova $A$.

Prethodni postupak prebrojavanja opisan je i tablicom. Neka je $*\in\{N,G,R,M\}$.

$A*A*A**$	$A**A*A*$	$A***A*A$	$*A*A*A*$	$*A**A*A$	$**A*A*A$
$A*A**A*$	$A**A**A$		$*A*A**A$
$A*A***A$

Odredimo broj načina rasporeda slova $N,G,R,M$ na preostala $4$ mjesta. Njih možemo rasporediti na $4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ načina.

Konačno, sva slova riječi $ANAGRAM$ mogu se rasporediti na $240$ različitih načina.

Drugo rješenje.

Posebno ćemo odrediti broj načina rasporeda slova $N,G,R,M$ te broj načina rasporeda tri slova $A$ na preostala $3$ mjesta. Zatim ćemo te brojeve pomnožiti.

Slova $N,G,R,M$ riječi $ANAGRAM$ možemo rasporediti na $4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ načina.

Za svaki takav raspored potrebno je rasporediti tri slova $A$ prema zadanom uvjetu tj. tako da se nikada dva slova $A$ ne pojave jedno do drugog.

Npr. ako su slova $N,G,R,M$ zapisana u prethodnom rasporedu, onda su slobodna mjesta

$$\_\_N\_\_G\_\_R\_\_M\_\_.$$

Dakle, za $3$ slova $A$ imamo $5$ mogućih mjesta.

Kada bi to bila tri različita slova $A$, njih bi mogli rasporediti na $5\cdot4\cdot3$ načina, a kako se radi o istom slovu, broj rasporeda je

$$\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2}=10.$$

Konačno, sva slova riječi $ANAGRAM$ mogu se rasporediti na $240$ različitih načina.

Napomena: Kada bismo promatrali mjesta na kojima slova $A$ nisu raspoređena, mogli bismo ih odabrati na $\frac{5\cdot4}{2}=10$ načina.