6. Zadatak

Prvo rješenje.

Zbroj mjera unutarnjih kutova peterokuta je

$$(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ$$

pa je mjera jednog unutarnjeg kuta pravilnog peterokuta

$$\frac{540^\circ}{5}=108^\circ.$$

Promotrimo trokut $ABC$.

Kako je $|AB|=|BC|$, trokut je jednakokračan s osnovicom $\overline{AC}$ pa je

$$|\measuredangle BAC|=|\measuredangle ACB|=\frac{180^\circ-108^\circ}{2}=36^\circ.$$

Promotrimo trokut $BFC$.

Kutovi $\measuredangle FBC$ i $\measuredangle BCF$ su vanjski kutovi pravilnog peterokuta (sukuti su odgovarajućih unutarnjih kutova) pa je

$$|\measuredangle FBC|=|\measuredangle BCF|=180^\circ-108^\circ=72^\circ.$$

Stoga je trokut $BFC$ jednakokračan s osnovicom $\overline{BC}$ pa je $|BF|=|CF|$.

Promotrimo trokut $AFC$.

U trokutu $BFC$ je

$$|\measuredangle CFB|=180^\circ-(72^\circ+72^\circ)=36^\circ.$$

pa je trokut $AFC$ jednakokračan s osnovicom $\overline{AF}$. Stoga je $|CF|=|AC|$.

Pokazali smo da je $|BF|=|CF|$ i $|CF|=|AC|$ pa vrijedi

$$|BF|=|AC|$$

što je i trebalo dokazati.

Drugo rješenje.

Promotrimo $\triangle ECD$ i $\triangle EAB$.

Pravilnom peterokutu su svi unutarnji kutovi međusobno sukladni i sve stranice međusobno sukladne pa je i $\triangle ECD\cong\triangle EAB$ (SKS poučak). Stoga je $\overline{CE}\cong\overline{BE}$, tj. sve dijagonale pravilnog peterokuta su međusobno sukladne.

Tada je trokut $BCE$ jednakokračan trokut.

Mjera unutarnjeg kuta pravilnog peterokuta je

$$\frac{(5-2)\cdot180^\circ}{5}=\frac{540^\circ}{5}=108^\circ.$$

Međusobno sukladni trokuti $\triangle ECD$ i $\triangle EAB$ su jednakokračni trokuti s kutovima uz osnovice čija je mjera $36^\circ$ pa je

$$|\measuredangle CBE|=|\measuredangle ECB|=108^\circ-36^\circ=72^\circ.$$

Kutovi $\measuredangle FBC$ i $\measuredangle BCF$ su vanjski kutovi pravilnog peterokuta (sukuti su odgovarajućih unutarnjih kutova) pa je

$$|\measuredangle FBC|=|\measuredangle BCF|=180^\circ-108^\circ=72^\circ.$$

Stoga je trokut $BFC$ jednakokračan s osnovicom $\overline{BC}$ pa je $|BF|=|CF|$.

Promotrimo jednakokračne trokute $BFC$ i $BCE$.

Trokuti $BFC$ i $BCE$ podudaraju se u stranici $\overline{BC}$ i dva kuta uz tu stranicu pa su sukladni (KSK poučak), $\triangle BFC\cong\triangle BCE$.

Vrijedi $|BF|=|CF|=|BE|=|CE|$.

Kako je $\overline{AC}$ dijagonala, a prethodno je pokazano da su sve dijagonale pravilnog peterokuta međusobno sukladne, vrijedi i da je $|BF|=|AC|$ što je i trebalo dokazati.