4. Zadatak

Skica:

Neka je $a$ duljina stranice pravilnog peterokuta $ABCDE$.

Veličine svih unutarnjih kutova pravilnog peterokuta su

$$\frac{(5-2)\cdot180^\circ}{5}=108^\circ.$$

Trokuti $\triangle ABG$, $\triangle BCH$, $\triangle CDI$, $\triangle DEJ$ i $\triangle EAK$ su međusobno sukladni jer su to jednakokračni pravokutni trokuti s katetama duljine $a$. Veličine šiljastih kutova u tim trokutima su $45^\circ$.

Iz sukladnosti tih trokuta slijedi:

$$\lvert GB\rvert=\lvert HC\rvert=\lvert ID\rvert=\lvert JE\rvert=\lvert KA\rvert$$ $$\lvert\angle KAG\rvert=\lvert\angle GBH\rvert=\lvert\angle IDJ\rvert=\lvert\angle JEK\rvert=\lvert\angle HCI\rvert =360^\circ-(108^\circ+90^\circ+45^\circ)=117^\circ.$$

Prema poučku S-K-S trokuti $\triangle HBG$, $\triangle ICH$, $\triangle JDI$, $\triangle KEJ$ i $\triangle GAK$ su međusobno sukladni jer imaju po dva para sukladnih stranica i sukladne veličine kutova između tih stranica.

Iz ove sukladnosti slijedi:

$$\lvert GH\rvert=\lvert HI\rvert=\lvert IJ\rvert=\lvert JK\rvert=\lvert KG\rvert,$$ $$\lvert\angle BGH\rvert=\lvert\angle CHI\rvert=\lvert\angle DIJ\rvert=\lvert\angle EJK\rvert=\lvert\angle AKG\rvert,$$ $$\lvert\angle GHB\rvert=\lvert\angle HIC\rvert=\lvert\angle IJD\rvert=\lvert\angle JKE\rvert=\lvert\angle KGA\rvert.$$

Gledajući peterokut $GHIJK$, veličina kuta kod svakog od vrhova peterokuta jednaka je zbroju triju sukladnih kutova pa slijedi:

$$\lvert\angle KGH\rvert=\lvert\angle GHI\rvert=\lvert\angle HIJ\rvert=\lvert\angle IJK\rvert=\lvert\angle JKG\rvert.$$

Peterokut $GHIJK$ ima sve stranice jednake duljine i sve unutarnje kutove jednake veličine pa je pravilan.