5. Zadatak

Iz nejednakosti $x>y>z>1$ za recipročne vrijednosti brojeva $x$, $y$ i $z$ vrijedi

$$\frac{1}{x}<\frac{1}{y}<\frac{1}{z}<1.$$

Stoga je

$$\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}> \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>1,$$

odnosno

$$\frac{3}{z}>1\Rightarrow z<3.$$

Kako mora biti $z>1$ i $z<3$, slijedi da je $z=2$.

Iz

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>1 \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2}>1 \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}>\frac{1}{2}.$$

Nadalje je

$$\frac{1}{y}+\frac{1}{y}> \frac{1}{x}+\frac{1}{y}>\frac{1}{2},$$

odnosno

$$\frac{2}{y}>\frac{1}{2},$$

pa je $y<4$.

Kako mora biti $y>z=2$ i $y<4$, slijedi da je $y=3$.

Iz

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>1 \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}>1 \Rightarrow \frac{1}{x}>\frac{1}{6}.$$

Slijedi da je $x<6$.

Kako mora biti $x>y=3$ i $x<6$, slijedi da $x$ može biti $4$ ili $5$.

Uređene trojke koje zadovoljavaju zadane uvjete su $(4,3,2)$ i $(5,3,2)$.