2. Zadatak

Brojevi se općenito mogu birati na dva različita načina:

a) redoslijed izbora brojeva nije važan;

b) redoslijed izbora brojeva je važan!

Prvi način (redoslijed izbora brojeva nije važan):

Tri različita broja mogu se birati na

$$\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2}=84$$

različitih načina.

Zbroj triju različitih brojeva može biti $6$, $9$, $12$, $15$, $18$, $21$ ili $24$.

Ako zbroj brojeva iznosi:

• $6$

  Trojka koja odgovara tom uvjetu je: $\{1,2,3\}$.

• $9$

  Trojke koje odgovaraju tom uvjetu su: $\{1,2,6\}$, $\{1,3,5\}$ i $\{2,3,4\}$.

• $12$

  Trojke koje odgovaraju tom uvjetu su: $\{1,2,9\}$, $\{1,3,8\}$, $\{1,4,7\}$, $\{1,5,6\}$, $\{2,3,7\}$, $\{2,4,6\}$ i $\{3,4,5\}$.

• $15$

  Trojke koje odgovaraju tom uvjetu su: $\{1,5,9\}$, $\{1,6,8\}$, $\{2,4,9\}$, $\{2,5,8\}$, $\{2,6,7\}$, $\{3,4,8\}$, $\{3,5,7\}$ i $\{4,5,6\}$.

• $18$

  Trojke koje odgovaraju tom uvjetu su: $\{1,8,9\}$, $\{2,7,9\}$, $\{3,6,9\}$, $\{3,7,8\}$, $\{4,5,9\}$, $\{4,6,8\}$ i $\{5,6,7\}$.

• $21$

  Trojke koje odgovaraju tom uvjetu su: $\{4,8,9\}$, $\{5,7,9\}$ i $\{6,7,8\}$.

• $24$

  Trojka koja odgovara tom uvjetu je: $\{7,8,9\}$.

Ukupno ima $30$ povoljnih trojki pa je tražena vjerojatnost

$$p=\frac{30}{84}=\frac{5}{14}.$$

Drugi način (redoslijed izbora brojeva nije važan):

Tri različita broja mogu se birati na

$$\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2}=84$$

različitih načina.

Zbroj triju brojeva je djeljiv brojem $3$ u jednom od sljedeća dva slučaja:

(i) sva tri broja daju isti ostatak pri dijeljenju brojem $3$,

(ii) tri broja daju ostatke $0$, $1$, $2$ pri dijeljenju brojem $3$ (potpun sustav ostataka modulo $3$).

Tri broja daju isti ostatak pri dijeljenju s $3$ ako je izvučena jedna od kombinacija brojeva: $\{1,4,7\}$ ili $\{2,5,8\}$ ili $\{3,6,9\}$, tj. postoje $3$ mogućnosti.

Za dobivanje potpunog sustava ostataka modulo $3$ imamo $3^3=27$ mogućnosti ($3$ mogućnosti za odabir broja djeljivog s $3$, $3$ mogućnosti za odabir broja koji daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$ i $3$ mogućnosti za odabir broja koji daje ostatak $2$ pri dijeljenju s $3$).

Tražena vjerojatnost je

$$p=\frac{30}{84}=\frac{5}{14}.$$

Treći način (redoslijed izbora brojeva je važan):

Broj ukupnih mogućnosti izbora tri različita broja (ako pazimo na njihov redoslijed) je

$$9\cdot8\cdot7=504.$$

Zbroj triju brojeva je djeljiv brojem $3$ u jednom od sljedeća dva slučaja:

(i) sva tri broja daju isti ostatak pri dijeljenju brojem $3$;

(ii) tri broja daju ostatke $0$, $1$, $2$ pri dijeljenju brojem $3$ (potpun sustav ostataka modulo $3$).

Tri broja mogu dati isti ostatak pri dijeljenju brojem $3$ ako je izvučena jedna od kombinacija brojeva: $\{1,4,7\}$ ili $\{2,5,8\}$ ili $\{3,6,9\}$.

Budući da je važan poredak brojeva, to je ukupno $3\cdot6=18$ mogućnosti.

Za dobivanje potpunog sustava ostataka modulo $3$ je $3^3\cdot6=162$ mogućnosti ($3$ mogućnosti za odabir broja djeljivog brojem $3$, $3$ mogućnosti za odabir broja koji daje ostatak $1$ pri dijeljenju brojem $3$ i $3$ mogućnosti za odabir broja koji daje ostatak $2$ pri dijeljenju brojem $3$; kako je bitan poredak, za svaku od dobivenih mogućnosti postoji $3!=6$ mogućih permutacija).

Zato je tražena vjerojatnost

$$p=\frac{180}{504}=\frac{5}{14}.$$