7. Zadatak

Prvi način:

Promotrimo li sliku:

može se primijetiti da za prvi trokut Dijana mora uzeti 3 šibice, a za svaki sljedeći trokut u nizu treba dodati samo 2 nove šibice.

Pomoću 99 šibica Dijana je napravila početni trokut i još $(99 - 3) : 2 = 48$ dodatnih trokuta, dakle njih 49.

Promotrimo nizove koji su sastavljeni od neparnog broja trokuta.

uočavamo da je broj trokuta koji su „okrenuti prema gore“ za 1 veći od broja trokuta koji su „okrenuti prema dolje“.

Dakle, od $n$ trokuta njih $\frac{n + 1}{2}$ je „okrenuto prema gore“.

Udaljenost dviju najudaljenijih točaka tada je $\frac{n + 1}{2} \cdot a$, pri čemu je $a$ duljina stranice trokuta.

U nizu od 49 trokuta, „prema gore okrenutih“ ima 25, a tražena udaljenost je $25 \cdot 5 = 125\ \mathrm{cm}$.

Drugi način:

Na temelju slike

zaključujemo:

Broj trokuta	1	2	3	4	5	…	$x$
Broj šibica	3	5	7	9	11	…	$2x + 1$

tj. da je za izradu niza koji sadrži $x$ trokuta potrebno $2x + 1$ šibica.

Ako je Dijana upotrijebila 99 šibica, složila je $(99 - 1) : 2 = 49$ trokuta u nizu.

Promotrimo nizove koji su sastavljeni od neparnog broja trokuta.

Označimo li duljinu stranice trokuta s $a$, možemo pisati:

| Broj trokuta | 1 | 3 | 5 | 7 | … | $n$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | Razmak najudaljenijih točaka | $1 \cdot a$ | $2 \cdot a$ | $3 \cdot a$ | $4 \cdot a$ | … | $\frac{n + 1}{2} \cdot a$ |

Dakle, ako u nizu ima neparan broj trokuta, razmak najudaljenijih točaka je $\frac{\text{broj trokuta} + 1}{2} \cdot \text{duljina stranice trokuta}$.

Za niz od 49 trokuta traženi je razmak jednak $\frac{49 + 1}{2} \cdot \text{duljina stranice trokuta}$.

Ako je svaka šibica duga $a = 5\ \mathrm{cm}$, tada udaljenost dviju najudaljenijih točaka iznosi $\frac{50}{2} \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125\ \mathrm{cm}$.

Treći način:

Niz jednakostraničnih trokuta može se podijeliti na dijelove koji se sastoje od 4 šibice.

Budući da je $99 = 24 \cdot 4 + 3$, od 99 šibica mogu se složiti 24 takva dijela i još ostaju 3 šibice od kojih je moguće složiti posljednji jednakostranični trokut.

Na slici su radi zornosti dijelovi odvojeni.

Udaljenost dviju najudaljenijih točaka je zbroj duljina 25 šibica, tj. $25 \cdot 5 = 125\ \mathrm{cm}$.