6. Zadatak

Na domino pločicama nalaze se parovi brojeva od 0 do 6 (uključujući brojeve 0 i 6) koji su smješteni na dva polja. Svi brojevi, osim nule, prikazani su odgovarajućim brojem točkica. Prazno polje bez točkica označava nulu. U kompletu domino pločica nalaze se i pločice s jednakim vrijednostima na oba polja (na primjer: 1 – 1, …). Koliko ukupno ima točkica u cijelom kompletu domino pločica?

Prvi način:

Na pločicama na kojima je jedno polje prazno (0), na preostalim poljima mogu biti 0, 1, 2, 3, 4, 5 ili 6. Za njihovo označavanje potrebna je $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$ točkica.

Na pločicama na kojima je na jednom polju 1, na preostalim poljima mogu biti 1, 2, 3, 4, 5 ili 6. Za njihovo označavanje potrebno je $6 \cdot 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 27$ točkica.

Na pločicama na kojima je na jednom polju 2, na preostalim poljima mogu biti 2, 3, 4, 5 ili 6. Za njihovo označavanje potrebno je $5 \cdot 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 30$ točkica.

Na pločicama na kojima je na jednom polju 3, na preostalim poljima mogu biti 3, 4, 5 ili 6. Za njihovo označavanje potrebno je $4 \cdot 3 + 3 + 4 + 5 + 6 = 30$ točkica.

Na pločicama na kojima je na jednom polju 4, na preostalim poljima mogu biti 4, 5 ili 6. Za njihovo označavanje potrebno je $3 \cdot 4 + 4 + 5 + 6 = 27$ točkica.

Na pločicama na kojima je na jednom polju 5, na preostalim poljima mogu biti 5 ili 6. Za njihovo označavanje potrebno je $2 \cdot 5 + 5 + 6 = 21$ točkica.

Na pločici na kojoj je na jednom polju 6, na preostalom polju može biti 6. Za označavanje je potrebno 12 točkica.

U kompletu domino pločica ima ukupno $21 + 27 + 30 + 30 + 27 + 21 + 12 = 168$ točkica.

Drugi način:

Komplet domino pločica može se prikazati na sljedeći način.

Službeni prikaz kompleta domino pločica

Pločica na kojima se nalazi barem jedno prazno polje ima 7, pločica na kojima se nalazi jedna točkica (1) na jednom polju, a na drugom jedna ili više točkica ima 6, pločica na kojima se nalaze dvije točkice (2) na jednom polju, a na drugom dvije ili više točkica ima 5, pločica na kojima se nalaze tri točkice (3) na jednom polju, a na drugom tri ili više točkica ima 4,…, pločica na kojima se na oba polja nalazi šest točkica (6) ima 1.

Ukupno ima $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$ domino pločica, odnosno 56 polja na kojima se nalazi ravnomjerno raspoređenih 7 brojeva. Svaki broj pojavljuje se $56 : 7 = 8$ puta.

\begin{aligned} 8 \cdot 0 + 8 \cdot 1 + 8 \cdot 2 + 8 \cdot 3 + 8 \cdot 4 + 8 \cdot 5 + 8 \cdot 6 &=\\ 8 \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) &=\\ 8 \cdot 21 &= 168. \end{aligned}

U kompletu domino pločica ukupan broj točkica je 168.